数学教学是让学生了解自己的知识、能力水平，弥补缺陷，纠正错误，完善知识系统和思维系统，提高分析和解决问题的能力的过程。下面我给大家带来2021各阶段数学教学论文题目参考，希望能帮助到大家!
中职数学教学论文题目
1、线性方程的叠加原理及其应用
2、作为函数的含参积分的分析性质研究
3、周期函数初等复合的周期性研究
4、“高等代数”知识在几何中的应用
5、矩阵初等变换的应用
6、“高等代数”中的思想 方法
7、中职数学教学中的数学思想和方法
8、任N个自然数的N级排列的逆序数
9、“高等代数”中多项式的值，根概念及性质的推广
10、线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法
11、数域概念的等价说法及其应用
12、中职数学教学与能力培养
13、数学能力培养的重要性及途径
14、论数学中的基本定理与基本方法
15、论电脑、人脑与数学
16、论数学中的收敛与发散
17、论小概率事件的发生
18、论高等数学与初等数学教学的关系
19、论数学教学中公式的教学
20、数学教学中学生应用能力的培养
21、数学教与学的心理探究
22、论数学思想方法的教与学
23、论数学家与数学
24、对称思想在解题中的应用
25、复数在中学数学中应用
26、复变函数论思想方法在中学数学教学中的应用
27、复变函数论思想方法在中学数学竞赛中的应用
28、代数学基本定理的几种证明
29、复变函数的洛必达法则
30、复函数与实函数的级数理论综述
31、微积分学与哲学
32、实数完备性理论综述
33、微积分学中辅助函数的构造
34、闭区间上连续函数性质的推广
35、培养学生的数学创新能力
36、教师对学生互动性学习的影响
37、学生数学应用意识的培养
38、数学解题中的 逆向思维 的应用
39、数学直觉思维的培养
40、数学教学中对学生心理素质的培养
41、用心理学理论指导数学教学
42、开展数学活动课的理论和实践探索
43、《数学课程标准》解读
44、数学思想在数学教学中的应用，学生思维品质的培养
45、数形结合思想在中学数学中的应用
46、运用化归思想，探索解题途径
47、谈谈构造法解题
48、高等数学在中学数学中的应用
49、解决问题的策略思想--等价与非等价转化
50、挖掘题中的隐含条件解题
51、向量在几何证题中的运用
52、数学概念教学初探
53、数学 教育 中的问题解决及其教学途径
54、分类思想在数学教学中的作用
55、“联想”在数学中的作用研究
56、利用习题变换，培养学生的思维能力
57、中学数学学习中“学习困难生”研究
58、数学概念教学研究
59、反例在数学教学中的作用研究
60、中学生数学问题解决能力培养研究
61、数学教育评价研究
62、传统中学数学教学模式革新研究
63、数学研究性学习设计
64、数学开放题拟以及教学
65、数学课堂 文化 建设研究
66、中职数学教学设计及典型课例分析
67、数学课程标准的新增内容的尝试教学研究
68、数学课堂教学安全采集与研究
69、中职数学选修课教学的实话及效果分析
70、常微分方程与初等数学
71、由递推式求数列的通项及和向量代数在中学中的应用
72、浅谈划归思想在数学中的应用
73、初等函数的极值
74、行列式的计算方法
75、数学竟赛中的不等式问题
76、直觉思维在中学数学中的应用
77、常微分方程各种解的定义，关系及判定方法
78、高等数学在中学数学中的应用
79、常微分方程的发展及应用
80、充分挖掘例题的数学价值和 智力开发 功能
小学数学教学论文题目参考
1、小学数学教师几何知识掌握状况的调查研究
2、小学数学教师教材知识发展情况研究
3、中日小学数学“数与代数”领域比较研究
4、浙江省Y县县域内小学数学教学质量差异研究
5、小学数学教师教科书解读的影响因素及调控策略研究
6、中国、新加坡小学数学新课程的比较研究
7、小学数学探究式教学的实践研究
8、基于教育游戏的小学数学教学设计研究
9、小学数学教学中创设有效问题情境的策略研究
10、小学数学生活化教学的研究
11、数字 故事 在小学数学课堂教学中的应用研究
12、小学数学教师专业发展研究
13、中美小学数学“统计与概率”内容比较研究
14、数学文化在小学数学教学中的价值及其课程论分析
15、小学数学教师培训内容有效性的研究
16、小学数学课堂师生对话的特征分析
17、小学数学优质课堂的特征分析
18、小学数学解决问题方法多样化的研究
19、我国小学数学新教材中例题编写特点研究
20、小学数学问题解决能力培养的研究
21、渗透数学思想方法 提高学生思维素质
22、引导学生参与教学过程 发挥学生的主体作用
23、优化数学课堂练习设计的探索与实践
24、实施“开放性”教学促进学生主体参与
25、数学练习要有趣味性和开放性
26、开发生活资源，体现数学价值
27、对构建简洁数学课堂的几点认识和做法
28、刍议“怎样简便就怎样算”中的“二指技能”现象
29、立足现实起点，提高课堂效率
30、宁缺毋滥--也谈课堂教学中有效情境的创设
31、如何让“生活味”的数学课堂多一点“数学味”
32、有效教学，让数学课堂更精彩
33、提高数学课堂教学效率之我见
34、为学生营造一片探究学习的天地
35、和谐课堂，让预设与生成共精彩
36、走近学生，恰当提问--谈数学课堂提问语的优化策略
37、谈小学数学课堂教学中教师对学生的评价
38、课堂有效提问的初步探究
39、浅谈小学数学研究性学习的途径
40、能说会道，为严谨课堂添彩
41、小学数学教学中的情感教育
42、小学数学学困生的转化策略
43、新课标下提高日常数学课堂效率的探索
44、让学生参与课堂教学
45、浅谈新课程理念下如何优化数学课堂教学
46、数学与生活的和谐之美
47、运用结构观点分析教学小学应用题
48、构建自主探究课堂，促进学生有效发展
49、精心设计课堂结尾巩固提高教学效果
50、浅谈数学课堂提问艺术
51、浅谈发式教学在小学数学教学中的运用
52、浅谈数学课堂中学生问题意识的培养
53、巧用信息技术，优化数学课堂教学
54、新课改下小学复式教学有感
55、让“对话”在数学课堂中焕发生命的精彩
56、小学几何教学的几点做法
初中数学教学论文题目
1、翻转课堂教学模式在初中数学教学中的应用研究
2、数形结合思想在初中数学教学中的实践研究
3、基于翻转课堂教学模式的初中数学教学设计研究
4、初中数学新教材知识结构研究
5、初中数学中的研究性学习案例开发实施研究
6、学案导学教学模式在初中数学教学中的实践与研究
7、从两种初中数学教材的比较看初中数学课程改革
8、信息技术与初中数学教学整合问题研究
9、初中数学学习困难学生学业情绪及其影响因素研究
10、初中数学习题教学研究
11、初中数学教材分析方法的研究
12、初中数学教师课堂教学目标设计的调查研究
13、初中数学学习障碍学生一元一次方程应用题解题过程及补救教学的个案研究
14、初中数学教师数学教学知识的发展研究
15、数学史融入初中数学教科书的现状研究
16、初中数学教师课堂有效教学行为研究
17、数学史与初中数学教学整合的现状研究
18、数学史融入初中数学教育的研究
19、初中数学教材中数学文化内容编排比较研究
20、渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践研究
21、初中数学教师错误分析能力研究
22、初中数学优秀课教学设计研究
23、初中数学课堂教学有效性的研究
24、初中数学数形结合思想教学研究与案例分析
25、新课程下初中数学教科书的习题比较研究
26、中美初中数学教材难度的比较研究
27、数学史融入初中数学教育的实践探索
28、初中数学课堂教学小组合作学习存在的问题及对策研究
29、初中数学教师数学观现状的调查研究
30、初中数学学困生的成因及对策研究
31、“几何画板”在初中数学教学中的应用研究
32、数学素养视角下的初中数学教科书评价
33、北师大版初中数学教材中数形结合思想研究
34、初中数学微课程的设计与应用研究
35、初中数学教学生成性资源利用研究
36、基于问题学习的初中数学情境教学模式探究
37、学案式教学在初中数学教学中的实验研究
38、数学文化视野下的初中数学问题情境研究
39、中美初中数学教材中习题的对比研究
40、基于人教版初中数学教材中数学史专题的教学探索
41、初中数学教学应重视学生直觉思维能力的培养
42、七年级学生学习情况的调研
43、老师，这个答案为什么错了?--由一堂没有准备的探究课引发的思考
44、新课程背景下学生数学学习发展性评价的构建
45、初中数学学生学法辅导之探究
46、合理运用数学情境教学
47、让学生在自信、兴趣和成功的体验中学习数学
48、创设有效问题情景，培养探究合作能力
49、重视数学教学中的生成展示过程，培养学生 创新思维 能力
50、从一道中考题的剖析谈梯形中面积的求解方法
51、浅谈课堂教学中的教学机智
52、从《确定位置》的教学谈体验教学
53、谈主体性数学课堂交流活动实施策略
54、对数学例题教学的一些看法
55、新课程标准下数学教学新方式
56、举反例的两点技巧
57、数学课堂教学中分层教学的实践与探索
58、新课程中数学情境创设的思考
59、数学新课程教学中学生思维的激发与引导
60、新课程初中数学直觉思维培养的研究与实践
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毕业论文主要目的是培养学生综合运用所学知识和技能，理论联系实际，独立分析，解决实际问题的能力，你知道本科数学论文题目都有哪些吗?接下来我为你推荐本科数学毕业论文题目，仅供参考。
本科数学毕业论文题目
★浅谈奥数竟赛的利与弊
★浅谈中学数学中数形结合的思想
★浅谈高等数学与中学数学的联系，如何运用高等数学于中学数学教学中 ★浅谈中学数学中不等式的教学
★中数教学研究
★XXX课程网上教学系统分析与设计
★数学CAI课件开发研究
★中等职业学校数学教学改革研究与探讨
★中等职业学校数学教学设计研究
★中等职业学校中外数学教学的比较研究
★中等职业学校数学教材研究
★关于数学学科案例教学法的探讨
★中外著名数学家学术思想探讨
★试论数学美
★数学中的研究性学习
★数字危机
★中学数学中的化归方法
★高斯分布的启示
★a二+b二≧二ab的变形推广及应用
★网络优化
★泰勒公式及其应用
★浅谈中学数学中的反证法
★数学选择题的利和弊
★浅谈计算机辅助数学教学
★论研究性学习
★浅谈发展数学思维的学习方法
★关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
★数学教学中课堂提问的误区与对策
★怎样发掘数学题中的隐含条件
★数学概念探索式教学
★从一个实际问题谈概率统计教学
★教学媒体在数学教学中的作用
★数学问题解决及其教学
★数学概念课的特征及教学原则
★数学美与解题
★创造性思维能力的培养和数学教学
★教材顺序的教学过程设计创新
★排列组合问题的探讨
★浅谈初中数学教材的思考
★整除在数学应用中的探索
★浅谈协作机制在数学教学中的运用
★课堂标准与数学课堂教学的研究与实践
★浅谈研究性学习在数学教学中的渗透与实践
★关于现代中学数学教育的思考
★在中学数学教学中教材的使用
★情境教学的认识与实践
★浅谈初中代数中的二次函数
★略论数学教育创新与数学素质提高
★高中数学“分层教学”的初探与实践
★在中学数学课堂教学中如何培养学生的创新思维
★中小学数学的教学衔接与教法初探
★如何在初中数学教学中进行思想方法的渗透
★培养学生创新思维全面推进课程改革
★数学问题解决活动中的反思
★数学：让我们合理猜想
★如何优化数学课堂教学
★中学数学教学中的创造性思维的培养
★浅谈数学教学中的“问题情境”
★市场经济中的蛛网模型
★中学数学教学设计前期分析的研究
★数学课堂差异教学
★一种函数方程的解法
★浅析数学教学与创新教育
★数学文化的核心—数学思想与数学方法
★漫话探究性问题之解法
★浅论数学教学的策略
★当前初中数学教学存在的问题及其对策
★例谈用“构造法”证明不等式
★数学研究性学习的探索与实践
★数学教学中创新思维的培养
★数学教育中的科学人文精神
★教学媒体在数学教学中的应用
★“三角形的积化和差”课例大家评
★谈谈类比法
★直觉思维在解题中的应用
★数学几种课型的问题设计
★数学教学中的情境创设
★在探索中发展学生的创新思维
★精心设计习题提高教学质量
★对数学教育现状的分析与建议
★创设情景教学生猜想
★反思教学中的一题多解
★在不等式教学中培养学生的探究思维能力
★浅谈数学学法指导
★中学生数学能力的培养
★数学探究性活动的内容形式及教学设计
★浅谈数学学习兴趣的培养
★浅谈课堂教学的师生互动
★新世纪对初中数学的教材的思考
★数学教学的现代研究
★关于学生数学能力培养的几点设想
★在数学教学中培养学生创新能力的尝试
★积分中值定理的再讨论
★二阶变系数齐次微分方程的求解问题
★浅谈培养学生的空间想象能力
★培养数学能力的重要性和基本途径 ★课堂改革与数学中的创新教育
★如何实施中学数学教学中的素质教育 ★数学思想方法在初中数学教学中的渗透 ★浅谈数学课程的设计
★培养学生学习数学的兴趣
★课堂教学与素质教育探讨
★数学教学要着重培养学生的读书能力 ★数学基础知识的教学和基本能力的培养 ★初中数学创新教育的实施
★浅谈数学教学中培养学生的数学思维能力 ★谈数学教学中差生的转化问题
★谈中学数学概念教学中如何实施探索式教学 ★把握学生心理激发数学学习兴趣
★数学教学中探究性学习策略
★论数学课堂教学的语言艺术
★数学概念的教与学
★优化课堂教学推进素质教育
★数学教学中的情商因素
★浅谈创新教育
★培养学生的数学兴趣的实施途径
★论数学学法指导
★学生能力在数学教学中的培养
★浅论数学直觉思维及培养
★论数学学法指导
★优化课堂教学焕发课堂活力
★浅谈高初中数学教学衔接
★如何搞好数学教育教学研究
★浅谈线性变换的对角化问题
本科数学毕业论文范文：高等数学教学中体现数学建模思想的方法
生产计划是对生产全过程进行合理规划的有效手段，是一个十分繁复的过程，以下是我搜集整理的一篇探究高等数学教学中体现数学建模思想的方法的范文，欢迎阅读参考。
1数学建模在煤矿安全生产中的意义
在瓦斯系统的研究过程中，应用数学建模的手段为矿井瓦斯构建数学模型，可以为采煤方案的设计和通风系统的建设提供很大的帮助;尤其是对于我国众多的中小型煤矿而言，因为资金有限而导致安全设施不完善，有的更是没有安全项目的投入，仅仅建设了极为少量的给风设备，通风系统并不完善。这些煤矿试图依靠通风量来对瓦斯体积分数进行调控，这是十分困难的，对瓦斯体积分数进行预测更是不可能的。很多小煤矿使用的仍旧是十分原始的采煤方法，没有相关的规划;当瓦斯等有害气体体积分数升高之后就停止挖掘，体积分数下降之后又继续进行开采。这种开采方式的工作效率十分低下。
只要设计一个充分合理的通风系统的通风量，与采煤速度处于一个动态的平衡状态，就可以在不延误煤炭开采的同时将矿井内的瓦斯气体体积分数控制在一个安全的范围之内。这样不仅可以保障工人的安全，还可以保证煤炭的开采效率，每个矿井都会存在着这样的一个平衡点，这就对矿井瓦斯涌出量判断的准确性提出更高的要求。
2煤矿生产计划的优化方法
生产计划是对生产全过程进行合理规划的有效手段，是一个十分繁复的过程，涉及到的约束因素很多，条理性很差。为了成功解决这个复杂的问题，现将常用的生产计划分为两个大类。
基于数学模型的方法
(1)数学规划方法这个规划方法设计了很多种各具特点的手段，根据生产计划做出一个虚拟的模型，在这里主要讨论的是处于静止状态下所产生的问题。从目前取得的效果来看，研究的方向正在逐渐从小系统向大系统推进，从过去的单个层次转换到多个层次。
(2)最优控制方法这种方式应用理论上的控制方法对生产计划进行了研究，而在这里主要是针对其在动态情况下的问题进行探讨。
基于人工智能方法
(1)专家系统方法专家系统是一种将知识作为基础的为计算机编程的系统，对于某个领域的繁复问题给出一个专家级别的解决方案。而建立一个专家系统的关键之处在于，要预先将相关专家的知识等组成一个资料库。其由专家系统知识库、数据库和推理机制构成。
(2)专家系统与数学模型相结合的方法常见的有以下几种类型：①根据不同情况建立不同的数学模型，而后由专家系统来进行求解;②将复杂的问题拆分为多个简单的子问题，而后针对建模的子问题进行建模，对于难以进行建模的问题则使用专家系统来进行处理。在整体系统中两者可以进行串行工作。
3煤矿安全生产中数学模型的优化建立
根据相关数据资料来进行模拟，而后再使用系统分析来得出适合建立哪种数学模型。取几个具有明显特征的采矿点进行研究。在煤矿挖掘的过程中瓦斯体积分数每时每刻都在变化，可以通过通风量以及煤炭采集速度来保证矿中瓦斯体积分数处在一个安全的范围之内。假设矿井分为地面、地下一层与地下二层工作面，取地下一层两个矿井分别为矿井A、矿井B,地下二层分别为矿井C、矿井D.然后对其进行分析。
建立简化模型
模型构建表达工作面A瓦斯体积分数x·1=a1x1+b1u1-c1w1-d1w2(1)式中x1---A工作面瓦斯体积分数;u1---A工作面采煤进度;w1---A矿井所对应的空气流速;w2---相邻B工作面的空气流速;a1、b1、c1、d1---未知量系数。
很明显A工作面的通风量对自身瓦斯体积分数所产生的影响要显着大于B工作面的风量，从数学模型上反映出来就是要求c1>d1.同样的B工作面(x·2)和工作面A所在的位置很相似，也就应该具有与之接近的数学关系式
式中x2---B工作面瓦斯体积分数;
u2---B工作面采煤进度;
w1---B矿井所对应的空气流速;
w2---相邻A工作面的空气流速;
a2、b2、c2、d2---未知量系数。
CD工作面(x·3、x·4)都位于B2层的位置，其工作面瓦斯体积分数不只受到自身开采进度情况的影响，还受到上层AB通风口开阔度的影响。在这里，C、D工作面瓦斯体积分数就应该和各个通风口的通风量有着密不可分的联系;于是C、D工作面瓦斯体积分数可以表示为【3】
式中x3、x4---C、D工作面的瓦斯体积分数;
e1、e2---A、B工作面的瓦斯体积分数;
a3、b3、c3、d3---未知量系数：
f1、f2---A、B工作面的瓦斯绝对涌出量。
系统简化模型的辨识这个简化模型其实就是对于参数的最为初步的求解，也就是在一段时间内的实际测量所得数据作为流通量，对上面方程组进行求解操作。而后得到数学模型，将实际数据和预测数据进行多次较量，再加入相关人员的长期经验(经验公式)。修正之后的模型依旧使用上述的方法来进行求解，因为A、B工作面基本不会受C、D工作面的影响。
模型的转型及其离散化
因为这个项目是一个矿井安全模拟系统，要对数学模型进行离散型研究，这是使用随机数字进行试数求解的关键步骤。离散化之后的模型为【1】
在使用原始数据来对数学模型进行辨识的过程中，ui表示开采进度，以t/d为单位，相关风速单位是m/s,k为工作面固定系数，h为4个工作面平均深度。为了便于将该系统转化为计算机语言，把开采进度ui从初始的0~1000t/d范围，转变为0~1,那么在数字化采煤中进度单位1即表示1000t/d,如果ui=就表示每日产煤量500t.诸如此类，工作面空气流通速度wi的原始取值范围是0~4m/s,对其进行数字化，其新数值依旧是0~1,也就表示这wi取1时表示风速为4m/s,若表示通风口的开通程度是,也就是通风口打开一半(2m/s)，wi如果取1则表示通风口开到最大。
依照上述分析来进行数字化转换，数据都会产生变化，经过计算之后可以得到新的参数数据，在计算的过程之中使用0~1的数据是为了方便和计算机语言的转换，在进行仿真录入时在0~1之间的一个有效数字就会方便很多。开采进度ui的取值范围0~1表示的是每日产煤数量区间是0~1000t,而风速wi取值0~1所表示的是风速取值在0~4m/s这个区间之内。
模型的应用效果及降低瓦斯体积分数的措施
以上对煤矿生产中的常见问题进行了相关分析，发现伴随着时间的不断增长瓦斯涌体积分数等都会逐渐衰减，一段时间后就会变得微乎其微，这就表明这类资料存在着一个衰减周期，经过长期观测发现衰减周期T≈18h.而后，又研究了会对瓦斯涌出量产生影响的其他因素，发现在使用炮采这种方式时瓦斯体积分数会以几何数字的速度衰减，使用割煤手段进行采矿时瓦斯会大量涌出，其余工艺在采煤时并不会导致瓦斯体积分数产生剧烈波动。瓦斯的涌出量伴随着挖掘进度而提升，近乎于成正比，而又和通风量成反比关系。因为新矿的瓦斯体积分数比较大，所以要及时将煤运出，尽量缩短在煤矿中滞留的时间，从而减小瓦斯涌出总量。
综上所述，降低工作面瓦斯体积分数常用手段有以下几种：①将采得的煤快速运出，使其在井中停留的时间最短;②增大工作面的通风量;③控制采煤进度，同时也可以控制瓦斯的涌出量。
4结语
应用数学建模的手段对矿井在采矿过程中涌出的瓦斯体积分数进行了模拟及预测，为精确预测矿井瓦斯体积分数提供了一个新的思路，对煤矿安全高效生产提供了帮助，有着重要的现实意义。
参考文献:
[1]陈荣强,姚建辉,孟祥龙.基于芯片控制的煤矿数控液压站的设计与仿真[J].科技通报，2012,28(8)：103-106.
[2]陈红，刘静，龙如银.基于行为安全的煤矿安全管理制度有效性分析[J].辽宁工程技术大学学报：自然科学版，2009,28(5)：813-816.
[3]李莉娜,胡新颜,刘春峰.煤矿电网谐波分析与治理研究[J].煤矿机械，2011,32(6)：235-237.
2017大学数学论文范文
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。
几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.伽马函数的性质及应用
伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
用Г函数求积分
贝塔函数的性质及应用
贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
对称性：=。事实上，设有
递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
特别地，逐次应用递推公式，有
而，即
当时，有
此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为
由上式得以下几个简单公式：
用贝塔函数求积分
例
解：设有
(因是偶函数)
例贝塔函数在重积分中的应用
计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，
解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是
通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。
贝塞尔函数的性质及应用
贝塞尔函数的定义
贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。
贝塞尔函数的'递推公式
在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4
特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：
以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。
又因为
以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。
为半奇数贝塞尔函数是初等函数
证：由Г函数的性质知
由递推公式知
一般，有
其中表示n个算符的连续作用，例如
由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。
贝塞尔函数在物理学科的应用：
频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令
称为的Fourier变换。它的逆变换是
若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，
这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是
由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：
以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。
首先建立取样定理
设：
其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：
令
经计算：
利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。
通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：
类似地
经计算：
经计算得：
则有：设是的Fourier变换，
记则由离散取样值
因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。
例，利用
引理：当
当
因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式
首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：
(1)
其中
函数的幂级数展开式为：
则关于幂级数展开式为： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由阶修正贝塞尔函数
其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为
(4)
通过(1)(4)比较系数得
又由被积函数为偶函数，所以
公式得证。
3.结束语
本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。
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我原来是数学课代表 我写过的 并不难 比如说斐波那契数列的研究斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。定义斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1 解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。则r+s=1， -rs=1。n≥3时，有。F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。……F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。=(s^n - r^n)/(s-r）。r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。由式1，式2，可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。方法四：母函数法。对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x.因此S(x)=x/(1-x-x^2).不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}与黄金分割关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割）1÷1=1，1÷2=，2÷3=...，3÷5=，5÷8=，…………，55÷89=…，…………144÷233=…46368÷75025=…...越到后面，这些比值越接近黄金比.证明a[n+2]=a[n+1]+a[n]。两边同时除以a[n+1]得到：a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，则lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。所以x=1+1/x。即x²=x+1。所以极限是黄金分割比..特性平方与前后项从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)与集合子集斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。奇数项求和偶数项求和平方求和隔项关系f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]两倍项关系f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)其他公式应用生活中斐波那契斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21………………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。黄金分割随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值..…杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f⑴=C(0,0)=1。f⑵=C(1,0)=1。f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。……F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)质数数量斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除，.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契数列的素数无限多吗？尾数循环斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,…进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。自然界中巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。数字谜题三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~在FOX热播美剧《Fringe》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。推广斐波那契—卢卡斯数列卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)n12345678910…斐波那契数列F(n)11235813213455…卢卡斯数列L(n)776123…F(n)*L(n)7798725846765…类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），n12345678910…F[1,4]n097157…F[1,3]n776123…F[1,4]n-F[1,3]n0112358132134…F[1,4]n+F[1,3]n279162540…②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如n12345678910…F[1,1](n)11235813213455…F[1,1](n-1)0112358132134…F[1,1](n-1)0112358132134…F[1,3]n776123…黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。当p=-1，q=2时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……相关数学排列组合有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。兔子繁殖问题斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数0123456789101112幼仔对数101123581321345589成兔对数011235844总体对数11235844233幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）数列与矩阵对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义F(n)=f(n-1)+f(n-2)F(1)=1F(2)=1对于以下矩阵乘法F(n+1) = 11 F(n)F(n) 10 F(n-1)它的运算就是右边的矩阵 11乘以矩阵 F(n) 得到：10 F(n-1)F(n+1)=F(n)+F(n-1)F(n)=F(n)可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义设矩阵A=1 1 迭代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*11 0 F(n) F(0) 0这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)* A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。因此可以用递归的方法求得答案。数列值的另一种求法：F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。斐波那契弧线斐波那契弧线，也称为斐波那契扇形线。第一，此趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：， 50%和的无形垂直线交叉。斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范围而改变，因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。斐波那契数列在股市中的应用时间周期理论是股价涨跌的根本原因之一，它能够解释大多数市场涨跌的奥秘。在时间周期循环理论中，除了利用固定的时间周期数字寻找变盘点之外，还可以利用波段与波段之间的关系进行研究。但无论如何寻找变盘点，斐波那契数列都是各种重要分析的基础之一，本文将简单阐述斐波那契数列及其与市场的关系。工具/原料步骤/方法斐波那契数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现。数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数奇异数。具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233等，从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。而斐波那契数列中相邻两项之商就接近黄金分割数，与这一数字相关的、、和等数字就构成了股市中关于市场时间和空间计算的重要数字。大到整个宇宙空间到小到分子原子，从时间到空间，从自然到人类社会，政治、经济、军事等，各种现象中的规律都能找到斐波那契数的踪迹。世界著名建筑如巴黎圣母院、埃菲尔铁塔、埃及金字塔等均能从它们身上找到的影子。名画、摄影、雕塑等作品的主题都在画的处。报幕员站在舞台的处所报出的声音最为甜美、动听。人的肚脐眼是人体长度的位置，人的膝盖是从脚底到肚脐眼长度的。战争中的运用也是无所不在，小到兵器的制造、中到排兵布阵到战争时间周期的运用，相传拿破仑大帝即败于黄金分割线。在金融市场的分析方法中，斐波那契数字频频出现。例如，在波浪理论中，一轮牛市行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪；在空间分析体系中，反弹行情的高度通常是前方下降趋势幅度的、、；回调行情通常是前方上升趋势的、和。斐波那契数列在实际操作过程中有两个重要意义：第一个实战意义在于数列本身。本数列前面的十几个数字对于市场日线的时间关系起到重要的影响，当市场行情处于重要关键变盘时间区域时，这些数字可以确定具体的变盘时间。使用斐波那契数列时可以由市场中某个重要的阶段变盘点向未来市场推算，到达时间时市场发生方向变化的概率较大。图1综合指数（1A0001）2009年7月29日—12月31日日线图如图1所示，综合指数（1A0001）2009年8月4日的3478点到2009年9月1日阶段低点2639点的时间关系是21个交易日，2009年9月1日的阶段低点2639点到2009年9月18日的高点3068点是13个交易日的时间，到2009年9月29日的低点2712点是21个交易日，到2009年10月23日的高点3123点的时间是34个交易日，到2009年11月24日的年度次高点3361点的时间是55个交易日。图2综合指数（1A0001）2009年7月10日—12月31日周线图如图2所示，综合指数（1A0001）2009年8月4日的高点3478点到2009年9月4日2639点的运行时间是5周；2009年9月4日的低点2639点到2009年11月27日反弹高点3361点的时间是13周。斐波那契数列在股市中的应用斐波那契数列在股市中的应用第二个实战意义在于本数列的衍生数字是市场中纵向时间周期计算未来市场变盘时间的理论基础。这组衍生数列分别是：、、、、、2、、、等一系列与黄金分割相关的数字。在使用神奇数列时主要有六个重要的时间计算方法：第一、通过完整的下跌波段时间推算未来行情上涨波段的运行时间。第二、通过完整的上涨波段时间推算未来行情下跌波段的运行时间。这两种比例关系就像生活中我们经常见到的作用力与反作用的关系，乒乓球垂直掉到地面的高度决定乒乓球触击地面以后反弹的高度是同样的道理。第三、通过上升波段中第一个子波段低点到高点的时间推算本上升波段最终的运行时间。第四、通过下降波段中第一子波段高点到低点的时间推算本下跌波段最终的运行时间。这两种比例关系就像生活中我们经常见到的推动力与惯性的关系，当古代弓箭的弓与弦被拉开的距离直接决定了未来箭向前飞行的距离。第五、通过本上升波段中第一子波段的两个相邻低点的时间推算未来上升波段的最终运行时间。第六、通过下降波段中第一子波段的两个相邻高点的时间推算本下跌波段最终的运行时间。这两种比例关系就像生活中我们经常见到的建筑物地基宽度影响未来高度一样重要。在材质相同的情况下，地基宽度越大，未来高度越高。5在这六种重要的时间计算方法中最为重要的就是计算过程中实际使用的参数，利用不同的参数会得到不同的答案，而使用过程中几乎所有的重要参数都与斐波那契数列有关。由于篇幅原因，这里先埋个伏笔，我会在以后的文章中为股民朋友详细阐述计算方法。
1．这一篇文章不是人物传记，却记叙了闻一多先生的主要事略，表现了他的崇高品格，高度赞扬了他的革命精神。 毛泽东同志在《别了，司徒雷登》一文中指出：“许多曾经是自由主义者或民主个人主义者的人们，在美国帝国主义者及其走狗国民党反动派面前站起来了。闻一多拍案而起，横眉怒对国民党的手枪，宁可倒下去，不愿屈服。”高度赞扬闻一多表现了我们民族的英雄气概。具有我们民族的英雄气概，这是闻一多先生精神品格的最主要方面，这在这篇文章中充分表现出来了。文章的后半部分，着力写闻一多先生是“大勇的革命烈士”。 然而，闻一多先生一生中主要身份是学者、诗人。因此，这篇文章前半部分写闻一多先生前期怎样为了探索救国救民的出路而潜心学术，不畏艰辛，废寝忘食，十数年如一日，终于在学术上取得累累硕果。着力表现闻一多先生是“卓越的学者”。 闻一多先生前期潜心于学术，后期投身于民主运动，这反映了他对社会认识的变化。但作为一名卓越的学者，一名伟大的爱国者，一位言行一致的志士仁人，他是始终如一的。 2．这篇文章写得十分精粹，全文只有一千多字，就突出地表现了闻一多先生思想品格的最本质特征。精选的典型事例，精致严谨的结构，精练的诗一般的语言，精当的抒情性议论，使这篇文章充满了感人的力量。 （1）结构严谨。作者用闻一多先生的“说和做”总领全文，上半部分写闻一多先生“做了再说，做了不说”，表现闻先生“学者的方面”；后半部分写闻一多先生“说”了就“做”，言行完全一致，表现闻先生“革命家的方面”。在上半部分与下半部分之间，用了总承上文和总起下文的句子，使衔接紧密，过渡自然。 （2）选材精当。作者所选材料，讲究典型性，能以少胜多。对作为“学者的方面”，作者只选取了写作《唐诗杂论》《楚辞校补》《古典新义》三本书的情况加以表现；对作为“革命家的方面”，则选取起稿政治传单、群众大会演说、参加游行示威这三件事作为例证。闻先生一生经历复杂，著作等身，可以记述的事很多很多。作者只从大量材料中选取了这六件事，就已经把闻一多先生的严谨刻苦的治学态度、无私无畏的斗争精神、澎湃执著的爱国热情、言行一致的高尚人格，都表现出来了。 （3）精于剪裁。对材料的使用，作者根据表现中心的需要，有取有舍，有繁有简。比如，闻先生的研究唐诗，作者并没有写他研读了哪些书籍，发掘了哪些新意等等，而是着重写他研究的目的和态度：“他想吃尽、消化尽我们中华民族几千年的文化史”，“他要给我们衰微的民族开一剂救济的文化药方”，突出了闻先生的研究学问，目的是在于救国；“目不窥园，足不下楼”，“头发零乱”“睡得很少”这些细节，表现了闻先生的刻苦精神；“一个又一个大的四方竹纸本子，写满了密密麻麻的小楷，如群蚁排衙”，则表现出闻一多先生一丝不苟的严谨态度。这样的剪裁，能有力地突出中心。从详略上说，研究唐诗，写得详细；而写作《楚辞校补》和《古典新义》两事，只用了一小段，不足一百字，强调“做”了“也没有说”的意思，表达的侧重点与前面又有不同。闻先生的“最后一次演讲”及其被害经过，是人们熟知的，作者就不再对事实经过作过多的记述，而只是反复强调“凶多吉少”的紧急形势，撷取“演讲”中最“慷慨淋漓”的“你们站出来”这一句话，描绘“昂首挺胸，长须飘飘”的从容姿态，从而突出了闻一多先生的大无畏革命精神。所有这些，都说明了作者在材料剪裁上的深厚功力。 3．语言生动形象，精练含蓄，富于感情和音乐美。 （1）生动形象。不仅描写的语言是形象的，叙述和议论的语言也是形象的。例如“他正向古代典籍钻探”一句，本来是叙述语言，无非是讲闻一多正在研究古代典籍，但作者不用“研究”一词，而精心地选用了“钻探”，这就包含了比喻，既形象，含义也更丰富了。并且句式也变成“向……钻探”，叙述由静态变成动态，给人的印象不再是客观的介绍，而且是热情的称赞了。此外，如“吃尽”“消化尽”“炯炯目光……远射……”，“赫然而出”“向……迈进了”“起先，小声说”“向……呼喊”“警报迭起”，等等，都是明显的例子，叙述语言和议论语言的形象化，使文章生动，富于感染力。 （2）精练含蓄。比如一个“说”字，很普通，作者却赋予多种含义。开头引用的闻一多自述中的“说”，是向人家宣告自己要干什么或告白自己干了什么的意思；与第5段“他并没有‘说’，但他‘做’了”中的“说”和第6段中的“说”，则有吹嘘、自诩的意思，这里的“没有‘说’”，主要是赞扬闻一多先生的实干精神和谦虚美德；“作为革命家”，闻一多的“说”，是对于革命的宣传和动员，是对反动派的揭露和斥责，实际上也就不但是“言”，也是“行”了。一个“说”字，竟然表达这么多的意思！这种结合一定语言环境灵活地赋予同一个词以不同含义的表现手法，是耐人寻味的。 （3）富于感情。这篇文章的叙述、描写抒情化，令人无法分清哪些是记叙，哪些是抒情。例如，“仰之弥高，越高，攀得越起劲；钻之弥坚，越坚，钻得越锲而不舍”，说它是记叙未尝不可，但洋溢着赞美之情。又如，“昂首挺胸，长须飘飘”，显然是描写，但颂扬、景仰之情也呼之欲出。又如，“饭，几乎忘了吃”，本来是极平常的一句赞语，但紧接着跟上一句“他贪的是精神食粮”形成了对比，意蕴就丰富多了。同样，“夜间睡得很少”，“惜寸阴”，这种句子原也并不怎么精妙，但跟着一个情犹未尽的“分阴”，给人的感觉就不一般了。由于作者带着强烈的感情，能把平常的语句变得不平常了。 （4）富于音乐美。①作者善于使用成语或仿成语结构，如“目不窥园，足不下楼，兀兀穷年，沥尽心血”，“潜心贯注，心会神凝”，“迥乎不同”，“一反既往”，“警报迭起，形势紧张”，等等。这些词语的结构整齐，有节奏感。②作者惯于使用对句的形式，如一开头的“人家说了再做，我是做了再说”就是对句，又如“仰之弥高……钻之弥坚……”，“不动不响，无声无闻”，“动人心，鼓壮志，气冲斗牛，声震天地”，还有末段的“他，是口的巨人。他，是行的高标”。这些成对的句子，有些具有对比的性质，有些则是并列的性质，有的是更为整齐的对偶句。这些句子读起来，琅琅上口，铿锵有力，富于音乐美。 4．夹叙夹议的写法。本文表达上的一大特点是夹叙夹议。作者实际上是以议论来结构文章的。第一、二段是第一部分的叙述的纲领，第七段是第一部分的总结，这两处都是议论。第八、九两段是第二部分的纲，最后一段则是第二部分，也是全文的总结，这两处也都是议论。这篇文章多次用到照应，有首尾照应，有行文前后的多次照应，有行文与题目的照应。多种方式的照应，使文章的结构严谨，而且形成了一种旋律，一种气势，加强了文章的感染力。而所有这些照应，又几乎全是议论。由此可见议论在本文中的重要作用。 二、问题研究 1．这篇文章为什么取标题“闻一多先生的说和做”？ 这篇文章的原标题为“说和做——记闻一多先生言行片断”，经作者臧克家先生同意，改成现在这个标题。现标题与原标题没有本质不同。问题是，说话和行动，人人都有，天天都有，太一般化了，放在标题上不是太不醒目、新颖了吗？如果写一般人，确是如此。然而，闻一多先生与众不同。请问：谁发表过“最后一次演讲”？这样的演讲惊天地、泣鬼神，岂是平常的什么说话所能相提并论的？再请问：“拍案而起，横眉怒对国民党的手枪，宁可倒下去，不愿屈服”，做出这样行动的人全国有几个？这样的行动震惊了国内外亿万民众，岂是一般的什么行为所能比拟的？由此而见，这个标题用来写闻一多先生是适当的，是不一般的。 2．有的同志认为，这篇文章的语言大呼小叫，用大词、文言词，不朴实。到底应该怎样看？ 这篇文章的作者是诗人，应该看到，他是用诗化的语言写的。精练、生动、形象，有跳跃性，有气势，这是文章的语言风格。我们不能强求一律，说朴实的风格就好，诗化的风格就不好。应该说各有特点，各有妙处。 用文言词，适当用一点，用得好，能使文章精练，增加语言的味道，是好的。要吸取文言中有生命力的成分，这是大家都赞同的。 至于文章气势盛，好像大呼小叫，这用来写闻一多先生正合适。闻先生是一个刚性人物，富于阳刚之美。 练习说明 一、细读全文，画出精辟的语句，然后复述课文大意，并说出闻一多前期和后期思想品格上的主要特点，前后期有什么变化，又有什么共同的地方。 设题意图是，让学生把握课文大意和闻一多先生的思想品格的主要特点，并提高把握关键语句的能力、复述的能力和概括的能力。 参考答案： 闻先生前期为了探索救国救民的出路而潜心学术，不畏艰辛，废寝忘食，十数年如一日，终于在学术上取得累累硕果。后期则投身于民主运动，敢于为人民讲话，面对凶残的敌人无所畏惧，视死如归，体现出民主战士的大勇，成为中国革命知识分子的楷模。闻先生在前期和后期所走的道路不同，反映了他对社会认识的变化。但作为一名卓越的学者，一名伟大的爱国者，一名言行一致的志士仁人，他却是始终如一的。 二、说说下列句子的含义，注意其中加线部分的意思。 1．那时候，他已经诗兴不作而研究志趣正浓。 2．他要给我们衰微的民族开一剂救济的文化药方。 3．1930年到1932年，“望闻问切”也还只是在“望”的初级阶段。 4．深宵灯火是他的伴侣，因它大开光明之路，“漂白了的四壁”。 5．他潜心贯注，心会神凝，成了“何妨一下楼”的主人。 设题意图是，引导学生确切理解句中词语，从而进一步理解句子以至文章的意思。 参考答案： 第1句“诗兴不作”是文言说法。“作”，起。“诗兴不作”就是写诗的兴致减少了。20年代，闻一多写了许多爱国诗篇。从20年代末起，转入对我国古典文化的深入研究。 第2句“开一剂救济的文化药方”是比喻的说法，指寻找使我国民族文化繁荣昌盛起来的方法。自20年代末起，闻先生过了十多年“书斋生活”，企图从文化上寻找振兴民族的途径。 第3句“望闻问切”是比拟的说法，把我们的民族比成一个病人（第2句就全句而言也是比拟），说明闻一多当时从文化研究上来探求救国的方法，也还仅仅是走出了第一步。 第4句“它”指深夜灯火。深夜只有孤灯相伴，本来应感到寂寞，但闻一多则不然，他在一盏孤灯的照耀下，全力进行学术研究，成绩斐然。“漂白了的四壁”引自闻一多诗《静夜》，这首诗表现了诗人对祖国前途和人民命运的关切。课文中引用“漂白了的四壁”，意在表现闻先生深夜从事学术研究那种怡然自适的情景，与“大开光明之路”的意趣一脉相承。 第5句“潜心贯注”和“心会神凝”意思相近，都是说用心极专极深，除学术研究外，没有别的任何事情使他分心。 三、从下面两题中任选一题展开讨论。 1．课文的两个部分之间，是用哪些话过渡的？把这些话找出来，说说是怎样起过渡作用的。 2．这篇文章在叙述中穿插了哪些形象的描写？说说这些描写的作用。 设题意图是，使学生注意过渡句的运用，以及叙述中描写的运用及其作用。 参考答案： 1．是用两个句子完成过渡的。“做了再说，做了不说”，这是对前一部分的全面概括，然后指出这只是闻先生的一个方面。“闻先生还有另外一个方面——革命家的方面”，这句领起了文章的后一部分。这两个句子关联得十分紧密，“仅……还……”“一个方面……另外一个方面……”这都是起关联作用的词语，“学者的方面”“革命家的方面”这是呼应紧密的提法。作者在两个部分之间，用了总承上文和总起下文的句子，在两句之间又注意彼此的关联，这样就使两个部分的过渡十分自然。 2．课文中对闻一多的语言、肖像有许多具体描写。例如炯炯目光、头发零乱、昂首挺胸、长须飘飘、目不窥园。又有细节描写，例如“一个又一个大的四方竹纸本子，写满了密密麻麻的小楷，如群蚁排衙”。凡此种种，能起到具体再现闻先生那令人尊敬的高大形象的作用，使他的精神、品格、作风仿佛都成了可以具体感知的东西。 四、△闻一多先生的事迹很多，试为本文补充一两个事例。 设题意图是，加强学生课外语文活动，加深对课文的理解。 教学建议 一、这是一篇写得十分精粹的散文，感情充沛，语言精警。不妨引导学生反复诵读本文，以领悟文意，受到熏陶，并体会语言的优美和抒情性。教师可以用范读，或者放录音、录像等，激发学生的感情，调动学生诵读本文的积极性。 二、本文围绕中心选择材料和剪裁材料的方法，叙述中的抒情、描写和议论，前后文的过渡和照应，都值得学生学习。尤其要注意引导学生从课文中积累语言，培养语感，提高理解和运用语言的能力。 三、关于闻一多先生的背景材料，不妨引导学生从图书馆或从网上自主查阅，并加以整理后，在班上交流，以帮助学生更好地把握课文。 四、课文中有些文言词不好理解，建议引导学生利用工具书自主解决，教师不必越俎代庖。 有关资料 一、作者介绍 臧克家，诗人。1905年生于山东诸城。从小受家庭影响，喜欢古典诗词和民歌，并目睹农民的苦难生活，引起他深切的同情，这为他后来的诗歌创作，初步奠定了基础。1926年秋到武汉，投身于大革命的洪流。大革命失败后，受国民党当局迫害，四处逃亡。1929年还乡，入国立青岛大学补习班。1932年开始发表新诗，以一篇《老马》成名。1933年9月，诗人自费出版了第一本诗集《烙印》。随着《老马》等诗的广泛流传，臧克家被誉为“农民诗人”，为广大读者所熟知和喜爱。1934年大学毕业后到中学任教，发表了长诗《自己的写照》。抗战爆发后，诗人热情地奔赴抗日前线，从事进步文化工作，出版了《从军行》《淮上吟》等诗集。1942年秋到重庆，参加“中华全国文艺界抗敌协会”，出版《十年诗选》及长诗《古树的花朵》等。抗战胜利后，在上海主编《文讯》，写了许多揭露、批判国民党统治的政治讽刺诗。1948年由于国民党的迫害，逃亡香港。1949年3月回到解放后的北平，历任人民出版社编审、作家协会书记处书记、《诗刊》主编等职。解放后出版的诗集有《春风集》《欢呼集》《臧克家诗选》和长诗《李大钊》等。粉碎“四人帮”后，诗人又写了不少作品，并任复刊后的《诗刊》顾问。 二、臧克家和闻一多 臧克家于1930年至1934年在青岛大学学习期间，是闻一多先生的高足，经常出入于闻一多的办公室和家中，向老师请教；闻一多也很赏识臧克家，1932年回清华任教后写信给臧克家说：“得一知己，可以无憾，在青岛得到你一个人已经够了。”可见相知之深。1933年臧克家准备出版诗集《烙印》，因当时名不见经传，书店不愿出版他的诗集。闻一多联络王统照等人，替他出资印行《烙印》，又在大型杂志上撰文介绍。40年代，两人多有书信往来，如课文中提到的“他在给我的信上说……”，这是闻一多在接到臧克家赞扬他的信后，于1944年9月11日写的回信；课文中提到的“1944年10月12日”那封信，是答复臧克家欲至联大教书的问询的。闻一多先生遇难后，臧克家于1946年8月撰写《我的先生闻一多》以示悼念。 三、闻一多介绍 闻一多，本名家骅，著名诗人、学者、爱国民主战士。1899年11月24日出生于湖北省浠水县一个“世家望族，书香门第”。五四运动时在北京清华学校读书时即参加学生运动，曾代表学校出席全国学联会议。1922年赴美国芝加哥美术学院学习，后来研究文学。1925年5月回国后，历任青岛大学、清华大学教授。1923年出版第一部诗集《红烛》，闪烁着反帝爱国的火花。1928年出版第二部诗集《死水》，表现出深沉的爱国主义激情。在这以后致力于古典文学的研究。1937年抗战开始，他在昆明西南联大任教。抗战八年中，他留了一把胡子，发誓不取得抗战的胜利不剃去，表示了抗战到底的决心。1943年后，因目睹蒋介石反动政府的腐败，于是奋然而起，积极参加反对独裁、争取民主的斗争。1945年为中国民主同盟中央委员兼云南省负责人，昆明《民主周刊》社社长。“一二·一”惨案发生后，他更英勇地投身爱国民主运动，最后献出了宝贵的生命。遗著由朱自清编成《闻一多全集》四卷。 四、《闻一多先生的说和做》教学浅探（于漪） 闻一多先生是五四以来知识分子中一位杰出的人物。青年时代是新月派诗人，中年时代是旧经典的研究学者，晚年成为青年所爱戴的、昂头作狮子吼的民主战士。他横眉怒对国民党特务的手枪，把自己的一腔热血洒在为民主、为新中国而战斗的前线。诗人臧克家1980年2月写的《闻一多先生的说和做》（原题为《说和做——记闻一多先生言行片段》）这篇散文，虽只记述了闻先生言行的片段，但仍可从中看到这位诗人、学者、战士的形象。 教该文时可与《最后一次讲演》结合起来进行，先教此文，再教后者，二者相互补充，把烈士的高大形象镌刻到学生的心中。教这篇文章要达到下列教学目的： 1．让学生了解并学习闻一多先生孜孜钻探宝藏的治学精神和嫉恶如仇、为祖国安危而英勇献身的凛然正气与高尚情操。 2．学习记述人物言行片段，从不同角度运用对比表现人物思想精神的方法。 3．理解语言的诗意和饱含的激情，体会记述中有论证的特色。 有些疑难词句须探讨，如： 诗兴不作：“作”，起的意思。诗兴不作，不是不作诗，而是写诗的兴致不起、不发。 仰之弥高，越高，攀得越起劲；钻之弥坚，越坚，钻得越锲而不舍：“仰之弥高，钻之弥坚”从《论语·子罕篇》中引来，是颜渊赞美孔子的话，意思是“老师之道，越抬头看，越觉得高；越用力钻研，越觉得深”。弥，更加。锲而不舍，不断地镂刻，比喻坚持不懈，有恒心，有毅力。锲（qiè），锲刻；舍（shě），放下。 望闻问切：中医诊断疾病的方法。望是观察病人的颜色、舌苔、表情、发育情况等；闻是听和嗅，即听病人的说话声音、咳嗽、喘息，并且嗅出病人的气味；问是询问病人自己所感到的症状、以前所患过的病等；切是用手诊脉或按腹部诊察有没有痞块等。通常这四种方法结合在一起使用，叫做四诊。望诊是第一步。 目不窥园：窥，从小孔或缝隙里偷偷地看。眼睛不暗中看一看家里的园圃，即专心致志。“不窥园”出自《汉书·董仲舒传》，该传中有“……盖三年不窥园，其精如此，进退容止，非礼不行，学士皆师尊之”。 兀兀穷年：兀（wù）兀，用心劳苦的样子。穷，尽。一年到头劳苦不息。出自韩愈的《进学解》，该文中有“焚膏油以继晷，恒兀兀以穷年”的句子。 腾怨：腾，上升。怨气升腾。 群蚁排衙：衙（yá），衙门，旧时的官署。旧时官署陈设仪仗，全署属吏依次参谒长官，叫排衙。群蚁排衙，指许许多多的蚂蚁排列成行。文中指闻一多先生写字十分认真，他的以十万百万字计的手稿，都是密密麻麻写得工工整整的蝇头小楷，好像群蚁排衙。 迥乎不同：迥（jiǒng），远。差得很远，完全不同。 一反既往：既，已经。既往，过去。与过去完全不一样。 气冲斗牛：或为“气冲牛斗”。斗，北斗星；牛，牵牛星。斗牛，泛指天空。形容怒气很盛。 高标：凡高耸物体的末端都可以叫做高标，杜甫诗《同诸公登慈恩寺塔》中有“高标跨苍穹，烈风无时休”，指慈恩寺塔高越青天。文中的高标指超群、出众。
闻一多 闻一多(1899～1946)中国诗人，文史学者。名亦多，字友三，亦字友山，家族排行叫家骅 。后改名多，又改名一多。生于湖北浠水。1912年考取北京清华学校，曾任《清华周报》编辑、《清华学报》学生部编辑，发表旧体诗文多篇。1920年7月，第一首新诗《西岸》发表，以后连续发表新诗。早期的诗，形式多为自由体，较为突出地表现了唯美的倾向和秾丽的风格。1921年11月，清华文学社成立，为其重要成员。同年12 月，在清华文学社作《诗的格律研究》的学术演讲，次年写成《律诗底研究》，开始进行系统的新诗格律化的理论研究。1922年去美国留学，学习绘画，进修文学，研究中国古典诗歌和英国近代诗歌。其间创作、发表了《太阳吟》、《孤雁》等诗，表达对祖国的思念。还在《创造周报》上发表《〈女神〉之时代精神》等有影响的新诗评论。1923年印行第一本新诗集《红烛》后，开始致力于新诗创作。1925年自美回国，在北京艺术专科学校任教，并成为徐志摩主编的《晨报副刊·诗镌》的主要撰稿人。1926 年发表论文《诗的格律》，提出新诗要具有“音乐的美(音节)，绘画的美(词藻)，并且还有建筑的美（节的匀称和句的均齐）”。开创了格律体的新诗流派，影响了不少后起诗人。喜读中国古代诗集、诗话、史书、笔记等。1916年开始在《清华周刊》上发表系列读书笔记，总称《二月庐漫记》。同时创作旧体诗。1919年五四运动时积极参加学生运动，曾代表学校出席全国学联会议（上海）。 1920年4月，发表第一篇白话文《旅客式的学生》。同年9月，发表第一首新诗《西岸》。 1921年11月与梁实秋等人发起成立清华文学社，次年3月，写成《律诗底研究》，开始系统地研究新诗格律化理论。 1922年7月赶美国芝加哥美术学院学习。年底出版与梁实秋合著的《冬夜草儿评论》，代表了闻一多早期对新诗的看法。1923年出版第一部诗集《红烛》，把反帝爱国的主题和唯美主义的形式典范地结合在一起。1925年5月回国后，历任国立第四中山大学（1928年更名为中央大学，1949年更名为南京大学）、武汉大学（任文学院首任院长并设计校徽）、青岛大学、北京艺术专科学校、政治大学、清华大学、西南联合大学教授，曾任北京艺术专科学校教务长、南京第四中山大学外文系主任、武汉大学文学院长、青岛大学文学院长。 1928年出版第二部诗集《死水》，在颓废中表现出深沉的爱国主义激情。此后致力于古典文学的研究。对《周易》、《诗经》、《庄子》、《楚辞》四大古籍的整理研究，被郭沫若称为"前无古人，后无来者"。 1937年抗战开始，他在昆明西南联大任教。抗战八年中，他留了一把胡子，发誓不取得抗战的胜利不剃去，表示了抗战到底的决心。 在西南联大时期，特别是1943年以后，闻一多在中国共产党的影响和领导下，积极投身于反对国民党政权的独裁统治、争取人民民主的斗争的洪流。 1944年，参加西南文化研究会，随后加入中国民主同盟。从此，他以民主教授和民盟云南省支部领导人的身份，积极参与社会政治活动，成为广大革命青年衷心 爱戴和无比尊敬的良师益友。 在“一二.一”学生爱国运动中，闻一多始终站在广大爱国学生一边，指导和鼓舞他们敢于斗争、善于斗争，为“一二.一”运动的胜利作出了重要贡献。 闻一多1945年为中国民主同盟会委员兼云南省负责人、昆明《民主周刊》社长。1946年7月15日在悼念李公朴先生大会上，发表了著名的《最后一次的讲演》，当天下午即被国民党特务杀害。 21日，西南联大校友会召开一多先生追悼会，朱自清出席并讲了话。他一开头便愤激地说：闻一多先生在昆明惨遭暗杀，激起全国的悲愤。这是民主主义运动的大损失，又是中国学术的大损失。 接着，他详细地叙说了闻一多在学术上的巨大贡献。首先告诉人们，闻一多是中国抗战前“唯一的爱国新诗人”，“也是创造诗的新格律的人”，“他创造自己的诗的语言，并且创造自己的散文的语言”。又详尽地介绍闻一多对神话、《楚辞》、《周易》、《诗经》等各方面研究的成就。他突出强调闻一多在学术上的伟大功绩，目的就在告诉人们国民党反动派残杀了一个多么有价值的学者，摧残了中国学术界不可多得的人才！激起了人们对敌人更大的愤恨。最后他悲愤地说：他有着强大的生命力，常跟我们说要活到80岁，现在还不满48岁，竟惨死在那卑鄙恶毒的枪下！有个学生曾瞻仰他的遗体，见他“遍身血迹，双手抱头，全身痉挛”。唉！他是不甘心的，我们也是不甘心的！ 他暗下决心，一定要把闻一多的全部遗著整理出版，这是对敌斗争的一种方法。他在给学生王瑶写信说：一多先生之死，令人悲愤。其遗稿拟由研究所同人合力编成，设法付印。后编成《闻一多全集》四卷。 朱自清曾写诗歌颂闻一多： 你是一团火，照彻了深渊；指示着青年，失望中抓住自我。你是一团火，照明了古代；歌舞和竞赛，有力猛如虎。你是一团火，照亮了魔鬼；烧毁了自己！遗烬里爆出个新中国！ 闻一多的两次转向： 1.由狂放归于沉静 1912年，年仅13岁的闻一多从湖北乡间一户富裕人家来到北京清华学校，开始接触到西方文化。1922年他赴美留学专攻美术。从考入清华到1925年留美归来这十余年间，闻一多基本是沉浸在艺术与文学之间，对政治只是偶有所涉。 在回国近两年的时间里，闻一多耳闻目睹的都是阴谋、战争、屠杀，面对民族的巨大灾难，他再也难抑悲愤，发表了《贡献》、《罪过》、《收回》、《你指着太阳 起誓》、《心跳》、《一句话》等充满爱国激情和痛挞社会现实的诗歌。但火山喷发之后，他又备感无奈，最终走了一条文人的传统老路，躲进书斋，钻入故纸堆， 成了对世事过问无多仅求独善其身的冷静学者。 2.由“自由学者”转为斗士 抗日战争的爆发，使闻一多等学院派知识分子的处境发生了根本性变化。在从北京到昆明的大转移中，闻一多参加了历时两个多月、横跨湘黔滇三省共三千余华里的 步行团。对社会下层生活的真切了解，埋下了他思想变化的契机。同时他本人的生活水平急剧下降，迅速贫困化，使他观察问题的角度发生了极为重要的变化。 闻一多的变化，是从1943年春蒋介石的《中国之命运》一书在昆明发售开始的。蒋介石在这本书中公开宣扬一个党、一个主义、一个领袖的专制主义。他不仅反 对共产主义，连自由主义也不能容忍，认为二者都是“文化侵略最大的危机和民族精神最大的隐患”。这是一向信仰民主自由的人们所难以接受的。闻一多这样写 道：“《中国之命运》一书的出版，在我个人是一个很重要的关键。我简直被那里面的义和团精神吓一跳，我们的英明的领袖原来是这样想法的吗？五四给我的影响 太深，《中国之命运》公开向五四挑战，我是无论如何受不了的。” 不久，闻一多偶然读到了延安诗人田间的几首诗，深为其中的战斗精神所震惊，立即写了《时代的鼓手——读田间的诗》一文公开发表，在大后方引起了一阵波动。 随后他又写了一系列针对现实的杂文，开始呐喊。同时他急切地阅读各种左倾书籍，详细了解共产党的各种情况。赵超构的《延安一月》中关于全延安只有“四个警 察”的记述使他印象极为深刻，认为“只有在那样的新社会秩序下，青年人才可以毫无阻碍地接受民主的教育。” 具有诗人浪漫气质的闻一多的转变是迅猛彻底的。他于1944年夏在罗隆基、吴晗的介绍下秘密加入民盟，并表示“将来一定请求加入共产党”。从此，他在共产 党的秘密领导下全身心地投入到争民主的运动中去。当然在内心深处他对学术并不能完全忘怀，曾多次对人说自己感到有些空虚，希望实现政治民主之后便回到书房 好好读十年、二十年书。但这已无法实现了，1946年7月15日，他在勇敢地作了《最后一次演讲》后，便被暗杀于昆明街头。闻一多是口的巨人，行的高标。著作书目： 《冬夜草儿评论》与梁实秋合著，1922，清华文学社 《红烛》(诗集)1923，泰东；1981，人文 《死水》(诗集)1928，新月；1980，人文 《闻一多全集》(1一4册)1948，开明；1982，三联 《闻一多选集》1951，开明 《闻一多诗文选集》1955，人文 《闻一多青少年时代诗文集》1983，云南人民 《闻一多论新诗》(评论)1985，武汉大学出版社 《楚辞补校》(古典文学研究)1942，重庆国民图书出版社 《神话与诗》(古典文学研究)1956，古籍 《古典新义》(上下册，古典文学研究)1956，古籍 《唐诗杂论》(古典文学研究)1956，古籍 《闻一多论古典文学》1984，重庆出版社 《离骚解诂》(古典文学研究)1985，上海古籍 开放分类：人物、烈士、文学家、诗人、五四运动参考资料： 1.静夜 2.这灯光，这灯光漂白了的四壁； 3.这贤良的桌椅，朋友似的亲密； 4.这古书的纸香一阵阵的袭来； 5.要好的茶杯贞女一般的洁白； 6.受哺的小儿唼呷在母亲怀里， 7.鼾声报道我大儿康健的消息…… 8.这神秘的静夜，这浑圆的和平， 9.我喉咙里颤动着感谢的歌声。 10.但是歌声马上又变成了诅咒， 11.静夜！我不能，不能受你的贿赂。 12.谁希罕你这墙内尺方的和平！ 13.我的世界还有更辽阔的边境。 14.这四墙既隔不断战争的喧嚣， 15.你有什么方法禁止我的心跳？ 16.最好是让这口里塞满了沙泥， 17.如其他只会唱着个人的休戚！ 18.最好是让这头颅给田鼠掘洞， 19.让这一团血肉也去喂着尸虫； 20.如果只是为了一杯酒，一本诗， 21.静夜里钟摆摇来的一片闲适， 22.就听不见了你们四邻的呻吟， 23.看不见寡妇孤儿抖颤的身影， 24.战壕里的痉挛，疯人咬着病榻， 25.和各种惨剧在生活的磨子下。 26.幸福！我如今不能受你的私贿， 27.我的世界不在这尺方的墙内。 28.听！又是一阵炮声，死神在咆哮。 29.静夜！你如何能禁止我的心跳？ 30.发现 31.我来了，我喊一声，迸着血泪， 32.“这不是我的中华，不对，不对！” 33.我来了，因为我听见你叫我； 34.鞭着时间的罡风，擎一把火， 35.我来了，不知道是一场空喜。 36.我会见的是噩梦，那里是你？ 37.那是恐怖，是噩梦挂着悬崖， 38.那不是你，那不是我的心爱！ 39.我追问青天，逼迫八面的风， 40.我问，（拳头擂着大地的赤胸） 41.总问不出消息；我哭着叫你， 42.呕出一颗心来，——在我心里！
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大哥课外知识面也太小了吧,这你都 不知道啊,日本侵华时的著名爱国民主战士,学者
可参考网络与新媒体专业的选题如下：
新媒体环境下的品牌建设研究——以拼多多为例。
新媒体时代基层政府形象的定学号姓名位与塑造为例——以 XX市为例新媒体时代Vlog新闻的影响力。
当代传统媒体与新媒体的转变后——定制化交互所带来的语言表达的变化新媒体传播对消费者购买行为的影响分析。
新媒体时代互联网企业危机公关管理研究———以马蜂窝旅游网为例网络综艺与传统综艺对比研究——以《火星情报局》与《天天向上》为例自媒体发展的现状及优化路径研究——以抖音为例。
浅析民俗文化纪录片的纪实性和艺术性——以《敦煌》为例。
针对 IP 产品的沉浸式VR影像设计与应用——以盲盒公仔《嫌疑人》为例。
论新媒体时代背景下新闻反转的原因——以"榆林孕妇坠楼事件"为例新媒体环境下网络暴力的社会效应与思考。
选题应注意以下几点：
1、选择自己感兴趣且有一定把握的内容，这样写的时候不至于一头雾水。
2、在确定研究方向之后，通过关键词全面搜集研究课题的相关资料文献，了解目前的研究现状和发展趋势。
3、选题范围不能过大，最好结合具体的案例进行分析。
4、切忌空和泛。如果题目的观念模糊、研究方向不清晰就会导致论文的研究缺乏指导和依据，无法得出明晰的结论，更谈不上实践指导作用了，甚至可以说是毫无价值和意义。
5、要避开有争议性的选题。在选题时一定要避开具有争议性或者发展方向还不明朗的选题，因为这些选题的参考文献较少，所以极有可能会存在很多主观性的内容，而这有悖于学术论文的严谨和客观。
大数据（Big Data）又称为巨量资料，指需要新处理模式才能具有更强的决策力、洞察力和流程优化能力的海量、高增长率和多样化的信息资产。“大数据”概念最早由维克托·迈尔·舍恩伯格和肯尼斯·库克耶在编写《大数据时代》中提出，指不用随机分析法（抽样调查）的捷径，而是采用所有数据进行分析处理。大数据有4V特点，即Volume（大量）、Velocity（高速）、Variety（多样）、Value（价值）。
内容如下：
1、大数据对商业模式影响
2、大数据下地质项目资金内部控制风险
3、医院统计工作模式在大数据时代背景下改进
4、大数据时代下线上餐饮变革
5、基于大数据小微金融
大数据(big data)，或称巨量资料，指的是所涉及的资料量规模巨大到无法透过目前主流软件工具，在合理时间内达到撷取、管理、处理、并整理成为帮助企业经营决策更积极目的的资讯。
在维克托·迈尔-舍恩伯格及肯尼斯·库克耶编写的《大数据时代》中大数据指不用随机分析法（抽样调查）这样捷径，而采用所有数据进行分析处理。大数据的5V特点（IBM提出）：Volume（大量）、Velocity（高速）、Variety（多样）、Value（低价值密度）、Veracity（真实性）。
广告艺术的图像学探究。数字媒体技术专业一般指数字媒体技术，数字媒体技术是一门普通高等学校本科专业，属计算机类专业，基本修业年限为四年，授予工学学士学位。数字媒体技术毕业设计选题广告艺术的图像学探究是最简单的，因为涉及的知识点相对少。该专业主要研究与数字媒体信息的获取、处理、存储、传播、管理、安全、输出等相关的理论、方法、技术与系统，是包括计算机技术、通信技术和信息处理技术等各类信息技术的综合应用技术，其所涉及的关键技术及内容主要包括数字信息的获取与输出技术、数字信息存储技术、数字信息处理技术、数字传播技术、数字信息管理与安全等。
想想，初中都学了那些？我在上中学时都没写过论文，现在上初中都要写论文啦？真是悲剧呀！但初中的数学还是很简单的，写一篇论文，可以联系到自己已经上过的知识。下面给你一些建议： 可以写，对任意的二元一次方程组的解转换为图形的交点问题。 还有，不知道三角函数有没有上，如果上了可以论证三角公式，比如说，(sinA)^2+(cosA)^2=1,(tanX)^2=(secX)^2-1
1、数学中的研究性学习2、数字危机4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教 因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值2、一道排列组合题的解法探讨及延伸3、整除与竞赛4、足彩优化5、向量的几件法宝在几何中的应用6、递推关系的应用8、小议问题情境的创设9、数学概念探索启发式教学10、柯西不等式的推广与应用11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用12、一道高考题的反思13、数学中的研究性学习15、数字危机16、数学中的化归方法17、高斯分布的启示18、 的变形推广及应用19、网络优化20、泰勒公式及其应用22、数学选择题的利和弊23、浅谈计算机辅助数学教学24、数学研究性学习25、谈发展数学思维的学习方法26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法27、数学教学中课堂提问的误区与对策29、浅谈数学教学中的“问题情境”30、市场经济中的蛛网模型32、数学课堂差异教学33、浅谈线性变换的对角化问题34、圆锥曲线的性质及推广应用35、经济问题中的概率统计模型及应用36、通过逻辑趣题学推理37、直觉思维的训练和培养38、用高等数学知识解初等数学题39、浅谈数学中的变形技巧40、浅谈平均值不等式的应用41、浅谈高中立体几何的入门学习42、数形结合思想43、关于连通性的两个习题44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学45、情感在数学教学中的作用46、因材施教与因性施教47、关于抽象函数的若干问题48、创新教育背景下的数学教学49、实数基本理论的一些探讨50、论数学教学中的心理环境51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则52、不等式证明的若干方法53、试论数学中的美54、数学教育与美育55、数学问题情境的创设56、略谈创新思维57、随机变量列的收敛性及其相互关系58、数字新闻中的数学应用59、微积分学的发展史60、利用几何知识求函数最值61、数学评价应用举例62、数学思维批判性63、让阅读走进数学课堂64、开放式数学教学65、浅谈中学数列中的探索性问题66、论数学史的教育价值67、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学68、 方程组中的若干问题69、由“唯分是举”浅谈考试改革70、随机变量与可测函数71、二阶变系数齐次微分方程的求解问题72、一种函数方程的解法73、微分中值定理的再讨论74、学生数学学习的障碍研究；76、数学中的美；77、数学的和谐和统一----谈论数学中的美；78、推测和猜想在数学中的应用；79、款买房问题的决策；80、线性回归在经济中的应用；81、数学规划在管理中的应用；82、初等数学解题策略；83、浅谈数学CAI中的不足与对策；84、数学创新教育的课堂设计；86、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究；87、运用多媒体培养学生88、高等数学课件的开发89、 广告效益预测模型；90、最短路网络；91、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；93、最优增长模型94、学生数学素养的培养初探96、 城市道路交通发展规划数学模型；97、函数逼近98、数的进制问题99、无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系100、 多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例101、一维，二维空间到欧氏空间102、初中数学新课程数与代数学习策略研究103、初中数学新课程统计与概率学习策略研105、数列运算的顺序交换及条件106、歇定理的推广和应用107、解析函数的各种等价条件及其应用108、特征函数在概率论中的应用109、数学史与中学教育110、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活——谈xx111、数学竟赛中的数论问题112、新旧教材的对比与研究114、随机变量分布规律的求法115、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用116、无穷大量存在的意义118、例谈培养数学思维的深刻性120、从坐标系到向量空间的基121 谈谈反证法122、一致连续性的判断定理及性质123、课堂提问和思维能力的培养125、函数及其在证明不等式中的应用126、极值的讨论及其应用127、正难则反,从反面来考虑问题128、实数的构造,完备性及它们的应用129、数学创新思维的训练 130、简述期望的性质及其作用131、简述概率论与数理统计的思想和方法132、穷乘积133、递推式求数列的通项及和134、划归思想在数学中的应用135、凸函数的定义性质及应用136、行列式的计算方法137、可行解的表式定理的证明140、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能141、数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探142、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明143、于黎曼积分的定义144、微分方程的历史发展145、概率论发展史及其简单应用147、数学教学中使用多媒体的几点思考148、矩阵特征值的计算方法初探149、数形结合思想及其应用150、关于上、下确界,上、下极限的定义,性质及应用 151、复均方可积随机变量空间的讨论155、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响160、函数性质的应用163、中数学新课程空间与图形学习策略与研究167、函数的凸性及其在不等式中的应用171、数学归纳法教学探究174、关于全概率公式及其应用的研究176、变量代换法与常微分方程的求解188、不等式解法大观189、谈谈“ 隐函数 ”190、有限维矩阵的范数计算与估计191、数学奥赛中数论问题的解题方法研究193、微分方程积分因子的研究195、关于泰勒公式196、解析函数的孤立奇点的分类及其判断方法197、最大模原理的推广及其应用198、π的奥秘——从圆周率到统计199、对现代信息技术辅助数学及其发展的几点思考200、无理数e的发现及其应用202、闭区间套定理的推广和应用203、函数的上下极限及其应用205、关于多值函数的解析理论探讨208、比较函数法在常微分方程中的应用209、数学分析的直观与严密303、求随机函数的分布函数和分布密度的方法304、条件期望的性质及其应用308、凸函数的等价命题及其应用310、有界变差函数的定义及其性质311、初等函数的极值