中国古算数学论文7200字_中国古算数学毕业论文范文模板

　　导读：中国古算数学论文7200字应该怎么写？想必对于这方面的职业学者来说写作论文已经是尤为常见了，并且也都是会通过这样的方式来说证明自己的能力，本论文分类为中国数学论文，下面是小编为大家整理的几篇中国古算数学论文7200字范文供大家参考。

　　中国古算数学论文7200字(一)：关于中国古算术语“开方”的几个问题较论文

　　摘要：在中国古代，开方远比乘方逆运算的范围要广，实际上是对一元二次及以上方程求数值解，它是传统数学中的一个重要门类。文章梳理了“开方”及其分类术语的历史源流与含义，考察了一些辞书对“开方”等术语的解释，并对其中不准确的解释进行了纠正。

　　关键词：开方，一元二次及以上方程，数学术语，中国古代数学史

　　一“开方”及其分类术语的产生和发展

　　我们现在通常所说的“开方”，是指乘方的逆运算，即由A、n，求满足xn=A的x的运算。有时开方亦特指开平方。这一术语，来源甚古，但中国古代的开方，范围比这宽泛得多，内容也非常丰富。本文对中国古代的“开方”及其分类术语做一简单疏理，特别要纠正前人在这方面存在的若干问题。

　　现存文献中，“开方”这一术语最早见于《周髀算经》：“句股各自乘，并而开方除之，得……”[1]21相当于直角三角形中，已知勾a、股b，求弦。书中未载具体运算过程，但据算理可知此书“开方”指的是开平方。值得注意的是，“开方”之后有“除之”二字。因为乘方是乘法的扩展，开方被认为是除法的扩展，所以用“除”字。这种情况在古算书中较为常见，如“开立方除之”“开三乘方除之”等。《九章算术》记载的“开方术”，也是开平方法，用算筹进行运算[2]131。宋《谢察微算经》“用字例义”中称：“开方，即自乘还原也”[3]，意为开方即开平方，程大位《算法统宗》“用字凡例”也采用上述解释[4]1230，但程氏算书中的“开方”有时并非特指开平方。

　　其实早在《九章算术》等书中，“开方”就不单纯是指开平方，如《九章算术》“以出北门步数乘西行步数倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方”[2]200，《周髀算经》赵爽注“以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣”[1]11中的“开方除之”均指带从开平方，相当于解一次项系数不为0的一元二次方程。《张丘建算经》[5]291、李淳风注《九章算术》中有的“开方”[2]136指的是开立方。到北宋贾宪“开方作法本源”图(见图1)出现，“开方”所包含的范围更广，除了开平方、开立方等，还包含开三乘及以上方以及各种开带从方问题，所以很多算书都把开方作为一个大的重要门类进行介绍。

　　图1“开方作法本源”图[6]1416

　　如杨辉称“开方乃算法中大节目”，并将“开方”分为七类：“一曰开平方，二曰(积)[开]平圆，三曰开立方，四曰开立圆，五曰开分子方，六曰开三乘以上方，七曰带从开方。”[7]1049朱世杰《算学启蒙》中有“开方释锁门”一条，其中包含了开平方、开立方、开三乘方等[8]。元末贾亨《算法全能集》称：“开方之法有三：有平方，有直方，有立方。”[9]《九章算法比类大全》“习算之法”中称“一先要熟读九数，二要诵归除歌法……九要知勾股弦数，十要知开方各色”，该书最后一卷为“各色开方卷”[10]13-14，包含开三乘方、开四乘方、开五乘方、带从平方、带减从开平方、带减积开平方等等。王文素《算学宝鉴》引用杨辉的分类，“开方”内容更为丰富，除了包含上述七个分类，另外还有“共积开平方”“共积开立方”“三乘以上圆”等较细分类。周述学《神道大编历宗算会》称“各求方面法，用商除以开其积，谓之开方”[11]，并介绍了开平方、开立方、开三乘方、开四乘方、开五乘方的运算过程，还介绍了各类开带从方法。《数学通轨》“习数法语”也称“一先要熟读九数，……十要知开方各色”[12]1173。该书并未介绍各色开方，但书中最后一部分“九章总义”引用顾应祥的说法，对开方有所介绍：“箬溪顾氏曰：……开者，除也；阖者，乘也。……以积求形，则先得其积，而后求其长短广狭斜正之形，有非乘除之所能尽者，故必以商除之。然而商除亦不能尽也，而又立正负廉隅之法以增损附益之，故其为术也难。予见《测圆海镜》一书，荆川唐太史所录，乃元翰林学士乐城李公冶所著，虽专主于勾股求容圆容方一术，然其中间如平方、立方、三乘方、带从、减从、益廉、减廉、正隅、负隅诸法，凡所谓以积求形者皆尽之矣，故为之分其类而释其术以便下学云耳。”[12]1209如《数学通轨》所述，顾应祥《测圆海镜分类释术》和《测圆海镜》详注了多种类型的开方，前书共有开平方到开四次方的各种开方细草60多条，后书也有26条之多。清李长茂《算海说详》第四卷为开方章，介绍各类开方问题[13]。

　　杨辉对开方的分类较早，也比较全面，下面就依照杨辉的七个分类：开平方、开平圆、开立方、开立圆、开分子方、开三乘以上方、带从开方，依次介绍各术语的产生及发展。其中第1、3、6项与第7项都有重叠之处。

　　(一)开平方

　　《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《开元大衍历经》等书中都用到开平方，但都没有用“开平方”这一术语，而是以“开方”表示开平方。目前存留的算书中，《夏侯阳算经》中最早出现“开平方”之名[14]，即我们现在所说的开平方。其后的算书中基本都沿用“开平方”术语指代开平方，但有时亦兼指开带从平方。如杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引用刘益《议古根源》“置积为实，以不及步为从方，开平方除之”[7]1086，其中“开平方除之”即开带从平方法，再如《测圆海镜分类释术》中的“负隅开平方法”[15]1000-1001，相当于求解方程1250x2=18000000。所以，在古代对于求一元二次方程的正根，有的算书统称为“开平方”。

　　(二)开立方

　　《九章算术》记载了开立方法，并有“开立方”这一术语[2]133，含义与我们现在所说的开立方一致。此术语也出现在后来的算书中，大部分用来指代开立方法，但如同“开平方”含义的扩展一样，有时开带从立方也简称为“开立方除之”。如王孝通《缉古算经》第15问“幂自乘，倍多数而一，为实，半多廉法，从。开立方除之”[16]，张爵《九章正明算法》“得四千八十个为实，以二为纵方，三为纵廉，以开立方法除之”[17]，都是对开带从立方的说明。所以，在古代对于求一元三次方程的正根，有的算书统称为“开立方”。

　　(三)开平圆

　　古代把球称为立圆，平面上的圆形称为平圆。开平圆法，即已知圆面积求圆周或半径的方法，其实开平圆可归结为开平方。《九章算术》南宋本中有“开圆术”这一术语[18]271，是已知圆面积求圆周的方法。《孙子算经》[19]《张丘建算经》[5]274-275等书中也有这类问题，至杨辉《乘除通变本末》中出现“开平圆”，明代吴敬、王文素、余楷等都沿用了这一术语。其中，余楷《一鸿算法》中有“开平圆方歌”[20]，程大位《算法统宗》中有“平圆法歌”[4]1315。清李长茂《算海说详》“开方章”中有“平圆开方问径周法”[13]，清代方中通《数度衍》的“开平圆”分“积求外周法”和“积求内径法”两部分[21]，清梅瑴成《增删算法统宗》也载有“平圆法歌”等[22]。

　　(四)开立圆

　　开立圆法即已知球体积求立圆径或立圆周的方法，可归结为开立方法。《九章算术》南宋本有“开立圆术”，是已知球体积求球径的方法[2]279。《张丘建算经》中载有已知立圆(球)体积求其直径的问题[5]290。李淳风注《九章算术》中说到“祖暅之开立圆术曰：以二乘积，开立方除之，即立圆径”[2]137。意思是以2乘体积，对它做开立方除法，就是立圆的直径。后来这一术语也发现于《九章比类》《算学宝鉴》等书中。其中，《算法统宗》载有“立圆法歌”[4]1324，《算海说详》“开方章”中有“立圆开方问径法”一条，《数度衍》的“开立圆”分“积求外周法”和“积求内径法”两类，《增删算法统宗》也载有“立圆法歌”等。

　　除了开平圆和开立圆问题，王文素《算学宝鉴》中还载有“三乘以上圆”问题，并有歌诀：“算家若要开圆积，积乘方率通为实。圆率为隅列下张，开方取径无差失。”[23]927

　　(五)开分子方

　　开分子方即分数开方问题，也可归于开平方、开立方、开三乘以上方等各类中。这里提到两种情况，一种是分母可以直接开出整数来，则对分子和分母分别开方；另一种是分母不能直接开出整数来，这时通过分子、分母同时乘以一个或几个数，使分母可以直接开出整数来，便可化为前一种情况，此术的重点在于求分子的方根或其近似值。因为强调分子的开方，所以称为“开分子方”。《九章算术》详述了分数开平方和分数开立方问题，如对分数开平方，“若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。”[18]269对分数开立方也有类似说明[18]277。现存算书中，杨辉《算法通变本末》中始出现“开分子方”术语[7]，王文素《算学宝鉴》也载有此类问题，第十六卷有“平方带分子”[23]560，第三十五卷有“开分子立方”[23]853等。总体说来，专门论述分数开方问题的古代算书还是比较少的。

　　(六)开三乘以上方

　　“开n乘方”，表示开(n+1)次方，或求一元(n+1)次方程的数值解。按杨辉的分类，开三乘以上方，包含开三乘方。现存的中国古代资料中，贾宪最先记载了直接开三乘方的方法，称为“递增三乘开方法”[6]1426。其后，秦九韶、朱世杰、吴敬、王文素、程大位等都载有开三乘方等问题。如王文素《算学宝鉴》中的“置积一千五百二十五亿八千七百八十九万六百二十五尺为实，以一为隅算，开七乘方除之”[23]926，相当于求。有时开三乘带从方法亦称为“开三乘方除之”，如杨辉《田亩比类乘除捷法》的一则题目，术曰：“倍积，自乘为实。四因积步为上廉，四因径步为下廉，五为负隅，开三乘方除之，得矢。……”[7]1093，相当于求一元四次方程-5x4+52x3+128x2=4096的数值解。

　　(七)带从开方

　　带从开方，也叫开带从方，不止包含带从开平方、带从开立方，还包括带从开三乘以上方。《九章算术》中就有带从开平方问题，出现“从法”这一术语，但是没有运算过程[2]200，此方法是开平方法求次商及以后各商的程序，所以该书仍用“开方除之”代之，并未出现“带从开平方”或“开带从平方”等术语。此外，《算法全能集》中的“直方”，也可能是指带从开平方。秦九韶《数书九章》中的“开连枝三乘方”“开翻法三乘方”“开玲珑翻法三乘方”等都属于带从开三乘方，书中还有“开玲珑九乘方”，即带从开九乘方[24]。吴敬、顾应祥、周述学、王文素、程大位等也都载有丰富的带从开方问题。

　　另外，不少算书也对“开方不尽”问题进行了阐释，如《九章算术》《算学宝鉴》《算法统宗》等分别对开平方不尽、开立方不尽问题进行了说明，并给出了解决办法。

　　综上，“开方”最开始是指开平方或者开带从平方，后来针对开立方等也说“开方除之”。随着数学的高度发展，开方逐渐成为一个大的门类，也能够解决开四次及以上方以及各类带从开方问题。总的来说，在中国古代，开方是求解一元二次及以上方程的数值解的一类问题。“开平方”“开立方”“开三乘方”等术语不仅可指开平方、开立方、开三乘方等，有时，带从开平方、带从开立方、带从开三乘方也分别简称为“开平方除之”“开立方除之”“开三乘方除之”。“带从开方”一般专门指带有“从法”的开方问题。

　　二一些辞典对“开方”及其分类

　　术语的解释存在问题

　　我们在研读工作中发现，一些辞书中有关开方的术语之解释存在这样那样的问题。因此本文将对这些问题做一简要的讨论。中国传统数学中，很早就有筹算开方法，后来在此基础上又发展为珠算开方法，因此下面将以涉及“开方”及相关古算术语较多的《数学辞海》和几部珠算辞典为主，分析它们对“开方”等术语的解释，以考察是否符合其历史含义。其他辞书如《大辞海·数理化力学卷》的“中国古算”[25]50、《中国大百科全书·数学》的“中国古代数学计算方法”[26]部分关于开方只介绍了“增乘开方法”。

　　关于“开方”，《大辞海·数理化力学卷》对它的历史含义解释得较全面：“中国传统数学中指求二次及高次方程(包括二项方程)的正根。《九章算术》少广章提出了世界上最早的多位数开平方、开立方程序，宋元时发展为增乘开方法。”[25]59但更确切地说是求一元二次及高次方程的正根。《数学辞海》第6卷称是“开平方的方法”，并举例《九章算术》中的“开方术”特指开平方运算[27]42，但《九章算术》有一例解中的“开方除之”指的是带从开平方法。《世界珠算通典》[28]72《中华珠算大辞典》[29]85和《珠算小辞典》[30]将“开方”均解释为“乘方的逆运算”，和现代数学对开方的解释相同，不符合珠算开方的含义。

　　关于“开平方”，《数学辞海》中没有对“开平方”一词的解释，根据它对“开方”的解释，也许它将“开方”当成开平方的古算术语。《世界珠算通典》[28]345《珠算小辞典》[30]对“开平方”的解释基本相同，均将求非负实数方根的运算叫作开平方。《中华珠算大辞典》解释“开平方除”指开平方运算，简称为开方除，并称“《九章算术》和其他古算书中，把解二次方程(带纵开方)的方法，也称作开方除(之)。”[29]88除了《中华珠算大辞典》对“开平方”的解释较符合其本意，其他辞书的解释都比较片面。

　　关于“开立方”，《数学辞海》等辞书均解释为“开立方的方法”，只有《中华珠算大辞典》做了补充：“《缉古算经》等古算书中，把解三次方程(带从开立方)的方法，也称作开立方除。”[29]90

　　关于“开平圆”“开立圆”，三部珠算辞典都没有对这两个术语进行解释和介绍，其实程大位《算法统宗》、李长茂《算海说详》等珠算书中均载有这两类问题。《数学辞海》没有介绍“开平圆术”，对“开立圆术”进行了解释：“指已知球体积，求球直径的方法”[27]42，但开立圆术还包含已知球体积求球的大圆周长(称为“求立圆周”)的方法，如《数度衍》等书中就载有此类问题。

　　关于“开带从平方”，也称为“带从开平方”，《数学辞海》对此术语解释如下：“指求形如的一元二次方程的正根的一种解法”[27]48，忽略了二次项系数不为1，A和B不一定大于0的情况，如《测圆海镜分类释术》中有相当于求解形如4x2-1248x-92160=0的一元二次方程的方法，书中称之为“负隅减从开平方法”[15]1003；《算法统宗》中求解形如x2-60x-864=0的“减从开平方法”[4]1314，其实都属于“带从开平方法”一类。《世界珠算通典》[28]122和《中华珠算大辞典》[29]297的解释：“古代把二次方程x2+ax=b中的一次项系数a叫‘从法’，后来中算家即把解二次方程称为‘带从开平方’。”除了存在与《数学辞海》相似的错误以外，后半句中忽略了当一次方程a=0时，即为开平方法。

　　关于“开带从立方”，也称为“带从开立方”，各辞典对此术语的解释仍出现了同上对“开带从平方”解释不全面的问题。如《数学辞海》解释为：“指求形如的一元三次方程的正根的一种方法。”[27]48《世界珠算通典》称，中国古代将形如；；之三次方程的解法称为带从开立方或开带从立方[28]121。这个说法是很不准确的，其实这类形式中有些只存在于列出开方式的过程中，还没有进入到马上可以开方的阶段。《中华珠算大辞典》说：“解含有一次项的三次方程，称为‘带从开立方’。”[29]297上述解释都忽略了三次项系数不等于1、二次项系数不为0的一元三次方程的情况，对各项系数符号的说明也过于片面。如《九章比类》中有相当于求解3x3+60x2+400x-304000=0的一元三次方程的方法，吴氏称之为“带从方廉隅算开立方法”[10]314。

　　关于“开三乘以上方”(相当于求4次或更高次方程的数值解)，以上辞书没有解释。《数学辞海》中有“开诸乘方”与之相关，其解释为：“将开平方、开立方算法推广到开更高次方，是中国古代数学家在《九章算术》‘开方术’基础上，借助于‘开方作法本源图’发展起来的一种算法”[27]52，但也不甚准确，因为有的四次以上开方并不用“开方作法本源图”(即贾宪三角)，如开高次方的增乘开方法就不用这个图表，明代朱载堉(1536—1611)开12次方时也不用，而是化为两次开平方、一次开立方来解决。

　　关于“开带从方”，也称为带从开方，以上辞书中均未对此术语进行介绍，也没有对开三乘带从方等开方法的解释和说明，这类问题在《数书九章》《四元玉鉴》《九章比类》《算学宝鉴》《测圆海镜分类释术》《神道大编历宗算会》等算书中均有涉及。如朱世杰《四元玉鉴》卷上“和分索隐”门第13问中有：“得一百六十九万五千二百五十二为益实，三千九百六十为从方，一千七百二十九为从上廉，二千六百四十为益下廉，五百七十六为从隅，三乘方开之，得平。……”[31]，相当于解四次方程576x4-2640x3+1729x2+3960x-1695252=0[32]。

　　根据上述对一些辞书在解释有关“开方”及其分类术语时存在的问题之分析，我们可以用现代数学语言将修正后的结果概括如表1。

　　三结语

　　同时，我们也发现，一些辞典对这些术语的解释不少地方不符合历史事实。一个普遍的问题是缩小了不少术语本身的含义。特别是各类珠算辞典对开方的介绍，没能充分体现出珠算开方法本身的特点，比如用算盘可以求一元二次及高次方程的正根，并有相应珠算开方法，但这些珠算辞典却只是对有关开方的术语做出笼统的介绍，掩盖了算盘的功能。所以，建议各类书籍或辞典在介绍开方的历史，或解释中国古代有关开方的术语时，应尽量全面、真实而完整地反映历史事实，做到既符合本义，又能起到普及的作用。

　　中国古算数学毕业论文范文模板(二)：中国古算术语“金蝉脱壳”的含义及其演变论文

　　摘要：“金蝉脱壳”是用加减解决乘除运算的一种算法，是中国古代数学中，特别是珠算中比较重要、浅显易懂的乘除计算方法，后来发展成较为复杂的“凑倍乘除”“剥皮”“扒皮”等算法。一些珠算辞书或著作对“金蝉脱壳”等术语进行了解释，但各有不同，同时也存在一些缺点。文章通过追溯其源流并分析不同算书中“金蝉脱壳”及其相关术语的含义，对“金蝉脱壳”的数学含义及演变过程进行了新的研究。

　　关键词：金蝉脱壳；珠算术语；数学含义；演变；中国古代数学史

　　引言

　　金蝉脱壳的本义是蝉由幼虫变为成虫时脱壳而出，比喻用计脱身，又比喻蜕变改易[1-3]，早在元代《三国志平话》、马致远《马丹阳三度任风子》、关汉卿《钱大尹智宠谢天香》、施君美《幽闺记·文武同盟》等文学作品中就有关于“金蝉脱壳”的记载，这些含义在现代仍被广泛使用。

　　殊不知“金蝉脱壳”还被用于数学中，除了现代学者对于“金蝉脱壳数”的介绍与研究[4]外，比较重要的则是“金蝉脱壳”作为一种算法在珠算中的使用，这也是本文研究的主要内容。作为一种容易理解的算法，“金蝉脱壳”在中国古代数学中就已出现，在明代尤其流行，是珠算中比较重要且简单的针对乘除运算的方法。一般的珠算著作都对这一术语有解释或说明，如朱永茂《无诀珠算》[5]既认为“金蝉脱壳”是“扒皮除法”的一种形式，又认为扒皮法可能是由“金蝉脱壳”演化而来。华印椿《中国珠算史稿》[6]和李培业《中国珠算简史》[7]介绍凑倍乘除时，称之为一种简易算法，原名“金蝉脱壳”。其中华印椿对“金蝉脱壳”及相关算法的介绍更为详细，又称其别名有“大扒皮”“剥皮”“混归”等，《中国科学技术史·数学卷》[8]也有类似介绍。一些珠算辞书对“金蝉脱壳”及相关术语的含义及历史也进行了解释，为便于分析，下面以列表形式介绍(表1—表3)。

　　表1《珠算小辞典》中“金蝉脱壳”及相关术语的解释

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　　根据表1，《珠算小辞典》只有对“金蝉脱壳除法”的介绍，又称为“一、二、五除法”“扒皮除法”“凑倍除法”等等，即用除数的一、二和五倍值简化除法运算的算法。

　　表2《中华珠算大辞典》中“金蝉脱壳”及相关术语的解释

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　　根据表2，《中华珠算大辞典》称金蝉脱壳即凑倍乘法，后来演化为用类似方法解决除法运算，所以又将凑倍除法称为“金蝉除法”。

　　表3《世界珠算通典》中“金蝉脱壳”及相关术语的解释

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　　根据表3，《世界珠算通典》称“金蝉乘法”即“金蝉脱壳”，亦称“凑倍乘法”“迭皮乘法”等等，是一种简捷的乘法运算。又说金蝉脱壳是凑倍乘除的原始名称，意为这既能表示乘法运算，也包含除法运算。还称金蝉除法即剥皮除法，亦称凑倍除法，但与“金蝉脱壳”的解释又前后不一。可见该辞书对各术语的解释比较混乱。

　　综上，上述珠算辞书或著作对“金蝉脱壳”及其相关术语的解释不尽相同，对其来源、演变等也没有统一说法，作为珠算中比较重要的术语，有必要厘清“金蝉脱壳”的含义，并追溯其源流及演变。

　　一古算术语“金蝉脱壳”的来源及含义

　　(一)“金蝉脱壳”一词的出现及来源

　　一般认为，“金蝉脱壳”这一术语最早见于徐心鲁订正的《盘珠算法》(1573)[12]。但其实周述学《神道大编历宗算会》(以下简称《历宗算会》)(1558)卷一中就载有“金蝉脱壳法”，又名“连环算法”[13]586，卷十五有歌诀称[13]827：

　　连环算法

　　乘法除双还倍数，须知去一要添原，归除满法①过身一，实②无折半当身五。

　　这种方法最早见于《九章算法比类大全》(1450)(以下简称《九章比类》)，名为“乘除易会算诀”，歌诀的前四句与《历宗算会》中的完全相同，后四句云“不用九归并小九，只将二十字为先，乘除加减皆从此，万两黄金不与传”[14]。《九章比类》后附两则例题并解析，与《历宗算会》中前两则例解相似，可见“金蝉脱壳”在此之前或许名为“乘除易会算诀”，包含乘和除两类算法，不用口诀，均使用更为简单的加减运算完成。

　　另外，早在明代高儒《百川书志》(1540)卷十一中就载有“《金蝉脱壳纵横算法》一卷，不知作者”[15]，但没有具体内容。至于该术语最早出现于哪种算书，目前不好判断。据李兆华介绍，现存残本《九章正明算法》中有“金蝉脱壳4题”，该本为明万历十年(1582)北京重刊本，《算经源流》所记嘉靖己亥(1539)或为初刊年代[16]。那么，“金蝉脱壳”用作算学术语或许最早出现于15世纪末16世纪初。

　　(二)“金蝉脱壳”的含义

　　《九章比类》和《历宗算会》所载金蝉脱壳法是指乘除运算不再使用九归或九九口诀，用加或减法代替，乘法运算中，使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减2，得数加乘数的二倍数；被乘数中减1，得数加乘数。除法运算中，使用除数及其半数进行运算，被除数中减去除数，商数加1；被除数中减去除数的一半，商数加5。其中，不同数值的运算要注意积数或商数的定位问题。这应该就是“金蝉脱壳”最初的含义。

　　《盘珠算法》对“金蝉脱壳”的解释与之不同，原文如下[17]1146：

　　金蝉脱壳诀法

　　蠢子清曰：……分物在位，人数在，只管一进一除，此一位进除殆尽，又从次位进除之，……直进除到末位俱尽，方才是数科量呼喝数目是也。二人分物，进一除二，三人分，进一除三……

　　根据其解释，此处的金蝉脱壳仅是指除法运算，只使用除数本身进行运算，商数加1则从被除数中减去除数一次。之后载有“二字奇法”[17]1147：

　　二字奇法

　　诗曰：二字赛归除，玄中妙更奇，贤愚从此学，尽在一时知。

　　止用进退二法，凡用(八)[分]③物，进一隔位而除之；凡用见总，退一隔位而加之，易明之见也。

　　“诗曰”中说“二字赛归除”，可知是在讲除法，但“诗曰”之后是对乘除运算的定位说明，除法运算时，商1放置于被除数之前，隔一位从被除数中减去除数；乘法运算时，从被乘数末位减1，之后隔一位加上乘数。其“金蝉脱壳诀法”同于“实如法而一”④，含义与《历宗算会》等书中的不同。程大位《算法纂要》(1598)“杂法”条中提道：“按金蝉脱壳及二字算等法，用倍、折、进、除”[18]。华印椿认为程氏所说的“二字算”当是《盘珠算法》中的“二字奇法”[6]，但后者并没有用到倍、折运算。

　　柯尚迁《数学通轨》(1578)中没有“金蝉脱壳”一词，目录中有“金蝉法”[19]1168，分为“金蝉乘法义”“金蝉归除义”[19]1182两种算法进行介绍，与《九章比类》《历宗算会》中的含义相似，不同之处在于，“金蝉乘法义”使用后乘法，《九章比类》和《历宗算会》则使用前乘法。此外，《数学通轨》金蝉除法的说明中有“进二除倍，添一还原”，这与其前文“置一原法，又置一个半法”以及其后所载例解不相符。

　　程大位《算法统宗》(1592)卷十七“杂法”中有“金蝉脱壳，又名乘除易会算诀”[20]，分别介绍了“因乘”法和“九归并除”法歌诀(图1)及例题，乘法含义与《九章比类》等书中的相同，但歌诀更简便，且对定位问题有说明。除法则与《九章比类》等书中的不同，歌诀为“加双下除倍，加一下除原，倍一挨身除，余皆隔位迁”，使用除数及其二倍数进行运算，商数加2，被除数中减去除数之二倍数；商数加1，被除数中减去除数；除数之二倍数的首位是1时，商数挨着被除数放置，否则商数与被除数相隔一位。华印椿认为程大位误解“九归并除歌”[6]，程氏阐述金蝉除说：“隔一位除也，只用一原法，而无倍折数”，华先生认为隔一位除者不限于原法，凡是倍数不进位时，都应当隔位除。但这几句是对“二句字诀”(图1)歌诀“有除隔位进，无除挨身进”的说明，并非对“九归并除法”的说明。而程氏所载“二句字诀”与《盘珠算法》中“二字奇法”相似，只用原除数进行运算，不使用除数之倍、折数。

　　潘逢禧《算学发蒙》(1882)称“金蝉脱壳法即飞归飞乘法，俗名蠢子数。皆以加减代乘除。虽布算稍嫌重叠，浅明易晓，极便童蒙，特附于此。”[24]后面分别介绍了“飞乘歌诀”和“飞归歌诀”，与《算法统宗》所载也基本相同。但是这里难免会给后世学者造成误解和困扰，因为在此之前就有“飞归”算法，如杨辉《算法通变本末》“习算纲目”条中有“穿除，又名飞归，不过就本位商数除而已”[25]，王文素《算学宝鉴》中亦有“飞归口诀”，与《算学发蒙》中的“飞归”完全是两类算法。不过潘氏对“金蝉脱壳法”的评价比较中肯，此方法虽然稍微烦琐，但是浅显易懂，便于初学者和知识浅陋者理解和掌握。

　　综上，“金蝉脱壳”一词并非首见于《盘珠算法》，《九章正明算法》《百川书志》《历宗算会》等书中就有记载，此方法首载于《九章比类》，名曰“乘除易会算诀”，或许是根据该算法的特点又取名为“金蝉脱壳”法。除了《盘珠算法》中所载“金蝉脱壳”法是以加减代除法运算，且只用原除数进行运算，与“实如法而一”相同。“金蝉脱壳”在数学中的本意是指用加减法代替乘除运算，即包含乘、除两种算法。其中，乘法一般是使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减1，得数加乘数一次，被乘数中减2，得数加乘数之二倍数一次，有的得数置于被乘数之前，有的置于被乘数之后。除法最开始是使用除数及其半数进行计算，即商数加1，被除数中减去除数一次，商数加5，被除数中减去除数之半数一次。后来又出现了使用除数及其二倍数进行运算的金蝉除法，即商数加1，被除数中减去除数一次，商数加2，被除数中减去除数之二倍数一次，不同算书中对商数的摆放位置有不同说明。这类算法的主要特点是不使用九九或归除口诀，易学易会，但计算过程繁复，不能说是一种快速的运算方法。

　　二古算术语“金蝉脱壳”的演变

　　(一)“金蝉脱壳”术语的演变

　　除了“乘除易会算诀”，“金蝉脱壳”法还有其他名称，如《历宗算会》中称“金蝉脱壳”法为“连环算法”，《数度衍》称“乘除捷法，即金蝉脱壳法”。

　　梅文鼎《历算全书》(1723)“古算衍略”记载了“归除捷法”，口诀曰：“多上空加一，依前除莫疑，少前随上五，折半数除之，无除随上一，化下照前除”[26]，不使用九归口诀，利用除数及其半数进行运算，根据不同情形对商数的位置进行了详细说明，可知也是“金蝉脱壳”法。《算牖》在“金蝉脱壳”之后介绍了“酌定梅氏归除捷法”[23]768-769，除去“归除捷法”中间两句，只记前后四句歌诀，但所举例题采用商除法进行运算，与歌诀和说明不相符。无独有偶，罗士琳《比例汇通》(1818)卷一载有“西洋总诀”，口诀为“多隔上一，以前数除之；无随身一，以前数除之；少前多后随身五，以后数除之；法一身多隔上五，以后数除之”[27]，随后解释说“此即如金蝉脱壳，加双下除倍，加一下除原……”，但其后例解所介绍的并非类于金蝉脱壳法，而是商除法，看来也是混淆了两种方法。

　　此外，华印椿《珠算速计法》介绍了“赵氏新口诀除法”[28]，其中“简除”法，与梅氏“归除捷法”歌诀基本相同，也是金蝉脱壳法。施伯珩《商业应用珠笔算合璧》记载了“加减代乘除法”[29]，称“以加减代乘除法者，所谓金蝉脱壳法是也”，所载歌诀与《算法统宗》中的大体相同。

　　可见，由于种种原因，很多算书不再直接将“金蝉脱壳”作为该算法的名称，而出现了很多别名。还有的算书，直接混淆了“金蝉脱壳”法和商除法。

　　(二)“金蝉脱壳”含义的演变

　　除了术语的变化，有的数学家则在“金蝉脱壳”法的基础上发明了新的算法，含义也随之发生了变化。如《数度衍》中所载“乘除新法”[22]：

　　归除诀曰：进一空除原，进二空除倍，进二随除倍，进五空除半，进五随除半。

　　因乘诀曰：除一空加原，除二空加倍，除二随加倍，除五空加半，除五随加半。

　　每句口诀后有对应说明，用以明确商数和积数的摆放位置。计算时同样不使用口诀，不论乘除法，均使用乘数(或除数)及其二倍数和半数进行运算，可以说是综合了《九章比类》和《算法统宗》中的算法，对“金蝉脱壳”法进行了扩展。

　　再后来出现的剥皮乘除法、凑倍乘除法、扒皮法等可以说是“金蝉脱壳”法的进一步发展。如《珠算教程》将“剥皮乘法”[30]86-90作为珠算的基本乘法之一进行介绍，也称之为“凑倍乘法”。此书总结了这种方法的三句口诀，即“一、二、三，加几遍；四、五、六，改作半；七、八、九，当十算”，也可简称为“单、双、半”倍数法，针对不同情形，灵活使用乘数及其半数、二倍数进行运算。具体地说，若被乘数某位是1(或2、3)，被乘数中减去1(或2、3)，从其右位起加一(或二、三)次乘数，类似于“去一添原”；若被乘数某位是5，则被乘数中减去5，从其本位起加乘数之半数；若被乘数某位是6(或4)，则被乘数中减去6(或4)，从其本位起加乘数之半数，再从其右一位起加(或减去)一个乘数；若被乘数某位是7(或8、9)，则从被乘数中减去7(或8、9)，从本位起加一次乘数，再从其右一位起减去三(或两、一)次乘数。其中，需要用到加或减两次乘数时，也可直接使用乘数之二倍数进行运算。因此，书中还介绍了心算二、五倍法。

　　此书也介绍了珠算的基本除法之一：“剥皮除法”[30]141-151，也叫“累减法”或“倍数法”，根据商数放置位置的不同又分成隔位剥皮除法和不隔位(挨位)剥皮除法两类算法，实则方法相同。如隔位剥皮除法的口诀可大致归纳为：“大数空加几，隔位减几除；小半随进几，隔位减几除；够半随进五，不隔减半除；数近下加除，加到够减时，左位上商数，不隔减除数”。具体地说，当被除数大于或等于除数，则在被除数之左隔一位上商1，后在商之右隔一位上减去除数；若相同位数相比，被除数不足除数的一半，则在被除数之左挨位商1，再于商之右隔一位上减去除数；若相同位数相比，被除数小于除数，但达到除数的一半，则在被除数之左挨位上商5，再于商之右挨位减除数之半数；若相同位数相比，被除数虽小于除数，但与之接近，则在被除数之第二位起加上一个除数，再于被除数之左挨位商9，最后在商之右位减去除数……虽然也是使用除数及其半数、二倍数进行运算，但可采用的算法类型有“直减”“凑倍减”“凑十减”三种，规则较多，增加了初步估商的难度。针对此类除法，《世界珠算通典》中还介绍了“小扒皮”“大扒皮”“商一法”“商二法”“商五法”“商九法”等等，运算规则更多。

　　总之，在金蝉脱壳法的发展过程中，出现了越来越多不同的术语来表示这种算法，有的算法的含义也相应发生了变化，从而发展出了新的算法。如凑倍乘除法、剥皮乘除法、扒皮法等都是由“金蝉脱壳”法发展而来，虽然仍使用乘数(或除数)及其半数(或五倍数)和二倍数进行运算，但运算规则增多，相较于金蝉脱壳法复杂得多，理解起来也比之困难。运算中若遇被乘数或被除数某位数字较大，则需凑五、凑倍或凑十算，因此需灵活掌握计算方法。特别是除法运算时，初步估商的难度增大，出错的概率也更大。

　　三结语

　　上面考察了一些珠算辞典或著作对“金蝉脱壳”及其相关术语的解释，通过对古代数学著作中有关“金蝉脱壳”及其相关术语的分析，我们发现有些解释存在不少问题，不符合历史事实。特别是有些珠算辞典对“金蝉脱壳”等术语的介绍，没能充分体现出“金蝉脱壳”的含义及特点，还混淆了金蝉脱壳和凑倍乘除、剥皮乘除法等术语的含义，没有正确表述金蝉脱壳法与其相关算法的区别。

　　总的来说，“金蝉脱壳”是以加减代替乘除运算的一种简易算法，由“实如法而一”发展而来，含义与之相似，不同的是使用乘数(或除数)及其半数或二倍数进行运算。后来发展到使用乘数(或除数)及其半数(或五倍数)和二倍数进行运算，但都是直加、直减，比较简便且容易理解和掌握。现在由之发展起来的凑倍乘除等算法，需要针对被乘数或被除数的不同情况，而选择采用直加(减)、凑倍加(减)或凑十加(减)等法则进行计算，运算规则增多但也不失为一种简算法。它们的共同特点是，除了计算乘数(或除数)之倍数时可能会用到九九口诀，运算过程中不使用口诀，只用到加减法。